Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
28 Апр 2015
04 Задание (2016)ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Преобразование логарифмических выражений

Рассмотрим решение Задания 10 из т/р №111 А. Ларина:

Вычислите: {5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}

Заметим, что в показателе степени у нас стоит логарифм под знаком квадратного корня, поэтому основное логарифмическое тождество мы применить не можем.

Используем прием, который хорошо помогает, если мы имеем дело с произведением или частным логарифмов.

Пусть искомое выражение равно y:

y={5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}

Возьмем от обеих частей логарифм по основанию 5. (Могли бы взять логарифм по основанию 2 - в данном случае это не имеет значения)

Получим: log_5{y}=log_5({{5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}})

Преобразуем выражение в правой части равенства. Воспользуемся следующими свойствами логарифмов:

log_{a}{(b/c)}=log_{a}b-log_{a}c

log_{a}b^n=nlog_{a}b

log_{a}b=1/{log_{b}a}

Получим: log_5({{5^{sqrt{log_5{2}}}}/{2^{sqrt{log_2{5}}}}})=

log_5({{5^{sqrt{log_5{2}}}}}) ~-~log_5({2^{sqrt{log_2{5}}}})=

sqrt{log_5{2}}*log_5{5}~-~{sqrt{log_2{5}}}*log_5{2}=

sqrt{log_5{2}}~-~{log_5{2}}/{sqrt{log_5{2}}}=

sqrt{log_5{2}}~-~{sqrt{log_5{2}}}=0

Итак,

log_5{y}=0

Отсюда

y=1

Ответ: 1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.


 

Для вас другие записи этой рубрики:

Преобразование логарифмических выражений
| Отзывов нет

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *