№ 324607
Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.
Решение
показать
Проведем из вершины 
высоту 
и медиану 
:
Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы, то есть 
Высоту выразим из формулы для площади треугольника: 
,
Отсюда 
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
:
Следовательно, 
Пусть 
. Обозначим одинаковые углы одинаковыми буквами:
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 
,
- из прямоугольного треугольника 
- из прямоугольного треугольника 
- так как треугольник 
- равнобедренный (
)
Так как 
, получим 
, отсюда 
.
Тогда 
Ответ: 
№ 324608
В треугольнике известно, что 
, точка 
— центр окружности, описанной около треугольника . Прямая 
, перпендикулярная прямой 
, пересекает сторону 
в точке 
. Найдите 
.
Решение
показать
Наглядное решение этого задания, которое предложил Сергей Левочский.
№ 324609
Окружности радиусов 1 и 4 касаются внешним образом. Точки 
и лежат на первой окружности, точки 
и — на второй. При этом и — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми 
и .
Решение
показать
Проедем прямую через точки
и
. Пусть эта прямая пересекает отрезки и соответственно в точках 
и 
. Докажем, что 
и 
.
Пусть точка 
- точка пересечения прямых и :
как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Следовательно, треугольник 
- равнобедренный. 
- биссектриса, так как центр окружности, вписанной в угол лежит на биссектрисе угла. По свойству равнобедренного треугольника биссектриса является высотой, то есть 
или . Аналогично доказывается, что 
.
Следовательно, расстояние между прямыми и равно длине отрезка 
.
Опустим из точки перпендикуляр 
на 
и из точки перпедикуляр 
на и рассмотрим треугольники 
и 
:
Эти прямоугольные треугольники подобны по двум углам.
(
как углы со взаимно перпендикулярными сторонами)
, тогда 
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника найдем : 
Запишем отношения сходственных сторон:
Отсюда 
(так как 
- прямоугольник)
Ответ: 3,2
Решение, предложенное Сергеем Левочским.
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
известно, что 
, точка 
— центр окружности, описанной около треугольника 
, перпендикулярная прямой 
, пересекает сторону 
в точке 
. Найдите 
.
и 
лежат на первой окружности, точки 
и 
и 
№ 324607
F — точка пересечения прямой BD с окружностью.
AO — серединный перпендикуляр отрезка BF ==> AF = AB =2.
Угол ACF = угол AFB (т.к. дуга AF = дуга AB).
Тр.AFD подобен тр.AFC.
Из подобия получим AD = 2/3 ==> DC = 5 1/3
Спасибо)
324607
В треугольнике ВНМ гипотенуза в 2 раза больше катета, следовательно угол при вершине М равен 30 градусам. Он является внешним для равнобедренного треугольника ВМА. Следовательно угол А равен 15 градусам.
324609 вы доказываете ,что О1О2 перпендикулярно АВ ?
Да, спасибо, символ не пропечатался. Исправила.
В задаче 324607: так как угол BMH равен 30 градусам, а BM=MС, то величина угла С исходного треугольника равна 75 градусам и тд..
в задаче 324608: В треугольнике ВАМ: ВМ- среднее геометрическое. Тогда 4=АКх2R. Из подобия треугольников AKD и FLO получим AD=2/3. Поэтому CD=6-2/3.
Задача 24608 Решается гораздо проще. Проведем касательную АР. Угол РАО=ВСА=АВК. Значит АВD подобен АВС. AB*AB=AD*AC 4=AD*6 AD=2/3
DC=51/3
Большое спасибо!