Теорема Виета звучит так:
Теорема Виета широко используется при решении задач, в которых
- не требуется найти корни квадратного уравнения, а лишь некоторое их соотношение;
- нужно найти значение параметра, при котором значение корней удовлетворяет заданному соотношению.
С помощью теоремы Виета можно устно находить корни квадратного уравнения, а также проверять, являются ли заданные числа корнями уравнения.
Чтобы грамотно использовать теорему Виета, ее нужно хорошо понимать.
Остановимся подробнее на каждом слове этой теоремы. Сначала о коэффициентах квадратного уравнения:
Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1, то есть если
В общем случае не каждое квадратное уравнение является приведенным, например, уравнение 
не является приведенным. В этом уравнении 
.
Но каждое квадратное уравнение можно сделать приведенным, для этого достаточно обе части уравнения вида 
разделить на 
:
В полученном уравнении старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен 
, свободный член равен 
.
То есть корни произвольного квадратного уравнения, согласно теоремы Виета, удовлетворяют системе:
Например корни уравнения
удовлетворяют системе
Обратная теорема Виета позволяет составить квадратное уравнение по значениям его корней:
Например, числа -7 и -2 являются корнями уравнения 
, или 
Решим несколько задач с использованием теоремы Виета.
Задача 1. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней равен 
Так как произведение корней должно быть числом рациональным, второй корень может представлять выражение, сопряженное выражению , то есть дополняющее его до формулы разности квадратов. Это выражение 
:
Тогда 
; 
Отсюда получаем уравнение:
Задача 2. Найдите значения выражения 
, где 
и 
- корни уравнения 
.
Если в задаче не требуется найти значения корней квадратного уравнения, а только их соотношение, следовательно, нужно воспользоваться теоремой Виета.
Запишем теорему Виета для этого уравнения:
Теперь мы знаем, чему равны сумма и произведение корней. Представим выражение в виде комбинации суммы и произведения. Приведем дроби к общему знаменателю.
Ответ: -8
Задача 3. Найдите значение выражения 
, где и - корни уравнения 
.
Эта задача аналогична предыдущей, только в ней чуть сложнее преобразование выражения в комбинацию выражений 
и 
.
Вспомним формулу квадрата суммы: 
. Перенесем 
влево и получим соотношение 
(1)
Запишем теорему Виета для уравнения :
(по формуле 1)
Ответ: 20,5
Задача 4. Решите устно уравнение: 
Теорем Виета позволяет в некоторых случаях легко находить корни квадратного уравнения.
Для этого удобно придерживаться такой последовательности шагов:
- Выписываем теорему Виета для данного уравнения.
- Определяем знаки корней.
- Раскладываем на два множителя свободный член, и определяем, какая пара множителей в сумме дает второй коэффициент, взятый с противоположным знаком.
Для данного уравнения
1 
2 Определим знаки корней.
Для определения знаков удобно пользоваться такой таблицей:
Так как в уравнении произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней также отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.
3. Будем раскладывать на множители число 24, имея в виду, что множитель с большим модулем отрицателен, и выбираем пару чисел, сумма которых равна -2.
Очевидно, что это числа -6 и 4.
Ответ: -6; 4
Задача 5. Решите устно уравнение: 
1 
2 Определим знаки корней.
Так как в уравнении
произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.
В данном случае корни проще подобрать, зная их сумму: 
. Можно предположить, что 
. Проверим, чему равно произведение этих выражений:
Предположение верное.
Ответ: 
Следствием из теоремы Виета являются такие полезные факты:
Задача 6. Найти корни уравнения: 
Заметим, что 
, следовательно, 
.
Задача 7.
Найти корни уравнения: 
Заметим, что 
, следовательно, 
Как решать задачи с параметром с помощью теоремы Виета читайте здесь.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Добрый день! Особое внимание обратила на задачи 6 и 7. Задача 7 неверна. Я так понимаю, должно было быть 2015х2+2016х+1=0 (х2 — х в квадрате)
Конечно, спасибо!
Думаю, что задача 1 не решена, а ее «решение» представляет некоторые авторские правдоподобные рассуждения. Я попытался обосновать эту свою мысль здесь
Не могли бы вы предоставить свое решение, без кавычек.
Пусть x^2+px+q=0 — искомое уравнение, где p и q — целые числа, и пусть y — второй корнь уравнения.
По теореме Виета -p=2-sqrt(5)+y, тогда y=-p-2+sqrt(5)=a+sqrt(5), где a=-p-2 — целое число.
Получаем, что (a+sqrt(5))(2-sqrt(5))=q — целое число.
Раскроем скобки и получим q=2a-a*sqrt(5)+2sqrt(5)-5=(2a-5)+(2-a)sqrt(5).
Это целое число, следовательно, множитель 2-a перед sqrt(5) должен быть равен 0.
Следовательно, a=2 и y=2+sqrt(5).
Идея решения такая. Более красивое\детальное оформление за Вами.
Во второй задаче, если многочлен 3*x^2-8*x-1, то x1*x2 = -1/3, а не 1/3. Там ещё написано «x1 и x2 — корни уравнения 3*x^2-8*x-1», но, вообще говоря, это выражение уравнением не является.
Спасибо, исправила.
Здравствуйте,Инна Владимировна!У меня такой вопрос:Нужно ли ,прежде чем находить корни квадратного уравнения по теореме,обратной теореме Виета,убедиться в том, что корни существуют?(Найти дискриминант?)