Новые задачи по теории вероятностей

Нам нужно найти вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков при условии, что вы сумме выпало 8 очков.

Воспользуемся формулой Байеса.

Пусть событие А "в сумме выпало 8 очков"

Событие В "в первый раз выпало 6 очков И в сумме выпало 8 очков"

Искомая вероятность равна

Если всего в сумме выпало 8 очков, то возможны такие варианты бросков:

5   3

3   5

2   6

6   2

4   4

Вероятность этого события 

В первый раз выпало 6 очков И в сумме выпало 8 очков всего в одном случае, и вероятность этого события равна 

Тогда вероятность равна

Ответ: 0,2

Пусть событие А - "сумма выпавших очков окажется равна 8" при условии, что три очка не выпадет ни разу.

Представим число 8 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых принимает значения от 1 до 6 (возможное число очков):

8=2+6 (1)

8=3+5 (2)

8=4+4 (3)

По условию задачи сумма (2) нам не подходит.

Сумма (1) выпадает в двух случаях: 2+6 и 6+2.

Сумма (3) выпадает в одном случае.

При бросании кости 2 раза получаем возможных исходов. Из этих исходов вычтем те, при которых выпало 3 очка. Таких исходов 11: 3 очка при первом броске, и 6 вариантов для второго броска, или наоборот. При этом исход 3;3 считаем один раз. Таким образом, имеем 36-11=25 возможных исходов. Для нас благоприятными являются 3 исхода. Таким образом, искомая вероятность равна

Ответ: 0,12

При каждом броске монеты получаем 2 возможных исхода: орел или решка. При броске монеты 11 раз имеем возможных исходов.

Пусть событие А  - "выпадет ровно 5 орлов".

Пусть событие В  - "выпадет ровно 4 орла"

Найдем число благоприятных исходов для события А. Оно равно числу способов выбрать из 11 элементов 5. То есть мы ищем число сочетаний из 11 по 5.

Сократим дробь и получим:

Таким образом, .

Найдем число благоприятных исходов для события B. Оно равно числу способов выбрать из 11 элементов 4. То есть мы ищем число сочетаний из 11 по 4.

Сократим дробь и получим:

Таким образом, .

Найдем :

Ответ: в 1,4 раза.

Вероятность получить определенную комбинацию очков при одновременном бросании костей такая же, как при их последовательном бросании.

Пусть событие А - "в первой попытке выпала комбинация 5 и 6 очков"

Пусть событие В - "во второй попытке выпала комбинация 5 и 6 очков"

При бросании двух костей имеем возможных исходов.

Найдем число благоприятных исходов в каждой попытке: нас устраивает: если гость выбросит (5 и 6) очков или (6 и 5) очков, то есть 2 благоприятных исхода.

Следовательно, вероятность получить искомую комбинацию в первой попытке равна

Вторая попытка необходима, если первая неудачна. Вероятность того, что  первая попытка неудачна, равна

Вторая попытка, то есть одновременное бросание двух костей второй раз ничем не отличается от первой.

Итак, считаем вероятность того, что "искомая комбинация выпала при первой попытке" ИЛИ "искомая комбинация НЕ выпала при первой попытке И выпала при второй попытке".

Вероятность получить искомую комбинацию в первой ИЛИ второй попытке равна сумме вероятностей:

Ответ: 0,11.

Заметим, что уже известно, что сумма всех выпавших очков равна 4. Это ограничивает число возможных вариантов бросков.

Рассмотрим все возможные варианты. Для этого представим число 4 в виде различных сумм слагаемых:

1 бросок:

4=4 (1)

2 броска:

4=2+2 (2)

4=1+3 (3)

4=3+1 (4)

3 броска:

4=1+1+2 (5)

4=1+2+1 (6)

4=2+1+1 (7)

4 броска:

4=1+1+1+1 (8)

Найдем вероятность каждого исхода:

Вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка, равна сумме вероятностей всех исходов:

Вероятность того, что в результате трех бросков сумма выпавших очков оказалась равна 4:

Нам нужно найти вероятность того, что сделано 3 броска при условии, что сумма всех выпавших очков равна 4.

Воспользуемся формулой Байеса.

Пусть А - событие "сумма всех выпавших очков равна 4".

Пусть В - событие "сделано 3 броска"

Пусть B|A - событие "сделано 3 броска при условии, что сумма всех выпавших очков равна 4"

Пусть АВ - событие "в результате трех бросков сумма выпавших очков оказалась равна 4"

Тогда по формуле Байеса

Ответ: 0,05.

Можно переформулировать вопрос так: какова вероятность того, что сумма выпавших очков станет больше либо равна 4 при трех бросках?

Это возможно в следующих случаях: 1+1+2; 1+1+3; 1+1+4; 1+1+5; 1+1+6; 1+2+... (здесь при третьем броске нас устраивает любое число очков, то есть имеем 6 благоприятных исходов); 2+1+... (6 исходов). То есть из 216 возможных исходов при трех бросках благоприятными для нас являются  5+6+6=17 исходов. Тогда получаем, что вероятность равна

Ответ: 0,08

Если вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок, равна 0,2, следовательно, вероятность того, что сообщение будет передано с ошибкой, равна . Нам надо найти вероятность того, что сообщение будет передано без ошибок в результате первой ИЛИ второй попытки.

Нарисуем дерево вероятностей.

Вероятность того, что сообщение будет верно передано в результате первой попытки, равна 0,2. Вероятность того, что сообщение будет верно передано в результате второй попытки, равна . Следовательно,  вероятность того, что сообщение будет передано без ошибок в результате первой ИЛИ второй попытки, равна

.

Ответ: 0,36

Нам нужно найти вероятность того, что пациент болен при условии, что известно, что у него ПЦР тест положительный. Пусть  вероятность того, что пациент болен  , тогда вероятность того, что пациент здоров равна .

Нарисуем дерево вероятностей.

По условию в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, к исходу "положительный тест" ведут красные линии.

Вероятность того, что пациент имеет положительный тест равна 0,1.

Получаем: если пациент здоров, то вероятность получить положительный тест равна , если пациент болен, вероятность получить положительный тест равна .

Заметим, что  вероятность того, что пациент болен И имеет положительный тест равна .

Получаем уравнение:

Теперь воспользуемся формулой Байеса.  Нам нужно найти отношение вероятности того, что пациент болен И имеет положительный тест к вероятности того, что пациент имеет положительный тест.

Ответ: 0,33.

Если стрелок попадает в цель с вероятностью 0,2, то с вероятностью 0,8 он промахивается. Если стрелок промахивается, то он делает следующий выстрел.

Нарисуем дерево вероятностей:

На рисунке изображен результат 4-х выстрелов, но их может быть больше. Красные веточки  - это путь к конечному  исходу "попал в цель".

Вероятность попасть в цель в результате одного выстрела равна 0,2.

Вероятность попасть в цель в результате двух выстрелов равна .

Вероятность попасть в цель в результате трех выстрелов равна .

Вероятность попасть в цель в результате четырех выстрелов равна .

Ответ: 4

Всего в ящике 6 фломастеров. Первый раз синий фломастер появится третьим по счету, если сначала будут вытащены 2 красных фломастера.

Вероятность первый раз вынуть красный фломастер равна

После этого в ящике останется 2 красных и 3 синих фломастера, всего 5 штук.

Вероятность второй раз вынуть красный фломастер равна

После этого в ящике останется 1 красный и 4 синих фломастера, всего 4 штуки.

Теперь вероятность  вынуть синий фломастер равна .

Тогда вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету равна произведению вероятностей:

Ответ: 0,15.

Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень первым или вторым выстрелом. Если он попадает в мишень с вероятностью 0,6, то с вероятностью 1-0,6=0,4 он промахивается.

Нарисуем дерево вероятностей:

Мы видим, что вероятность того, что стрелок поразит мишень первым или вторым выстрелом, равна . Отсюда вероятность промахнуться, сделав два выстрела, равна .

Пусть А - событие "стрелок поразит ровно три мишени".

Пусть В - событие "стрелок поразит ровно две мишени"

Найдем вероятность события "стрелок поразит ровно три мишени". Пусть стрелок первые три мишени поразит, а в последние две промахнется. Вероятность этого события равна  . Но он может попадать в цель и промахиваться в произвольном порядке, главное чтобы он три раза попал. Всего число таких комбинаций вариантов "попал в 3 цели и в 2 промахнулся" равно - число способов выбрать из пяти элементов три, (число сочетаний из 5 по 3).

Тогда

Найдем вероятность события "стрелок поразит ровно две мишени". Пусть стрелок первые две мишени поразит, а в последние три промахнется. Вероятность этого события равна  . Но он может попадать в цель и промахиваться в произвольном порядке, главное чтобы он два раза попал. Всего число таких комбинаций вариантов "попал в 2 цели и в 3 промахнулся" равно - число способов выбрать из пяти элементов три (число сочетаний из 5 по 2) .

Тогда

Найдем отношение :

Ответ: 5,25

Команда А победила в шести играх, следовательно, она сыграла 6 матчей с шестью командами и оказалась самой сильной из них. В этих матчах приняло участие 7 команд.

Рассмотрим команды, которые уже сыграли. Присвоим каждой команде номер в зависимости от ее силы. Самая сильная команда имеет больший номер. Пусть, например, в нашем случае у команды А будет номер номер 7, а у проигравших команд будут номера от 1 до 6. Вероятность того, что команда А выиграет у всех остальных команд равна вероятности того, из 7 различных чисел у команды А номер 7. Эта вероятность равна .

Теперь нам нужно найти вероятность того, что команда А выиграет седьмой раунд. В седьмом раунде добавится еще одна команда. То есть мы будем иметь уже 8 команд, участвующих в викторине. Теперь у нас уже есть  как бы набор из восьми различных чисел, характеризующих силу каждой команды. Найдем вероятность противоположного события: "команда А проиграет седьмой раунд". Это значит, что восьмая команда окажется сильнее, чем команда А. Это произойдет в том случае если из 8 различных неравных чисел у числа, характеризующего силу восьмой команды будет самое большое значение. Вероятность этого события равна .

Отсюда вероятность того, что команда А выиграет седьмой раунд равна

В общем случае получаем, что если команда выиграла в раундах, то вероятность выиграть в -м равна .

Ответ: 0,875.

Если в турнире участвуют 8 игроков, то в первом туре будет сыграно 4 партии, во втором 2 и в третьем 1 партия.

Иван и Алексей могут сыграть в первом туре. В первом туре соперником Ивана может быть один из семи игроков, то есть вероятность того, что это Алексей, равна  .

Значит, вероятность того, что Иван и Алексей сыграли в первом туре равна .

Если Иван и Алексей не сыграли в первом туре, то они могут сыграть во втором. Для начала они должны выйти во второй тур. Для этого должны быть выполнены два условия: 1) они не сыграли друг с другом в первом туре (вероятность этого события ) И 2) оба победили каждый  в своей партии.

Вероятность того, что они выйдут во второй тур равна .

Во второй тур выходят 4 человека, значит, при условии, что Иван и Алексей вышли во второй тур, вероятность сыграть друг с другом равна .

Таким образом, вероятность того, что Иван и Алексей вышли во второй тур И сыграли друг с другом равна .

Вероятность не сыграть друг с другом, при условии, что они вышли во второй тур равна .

Тогда они могут выйти в третий тур. Чтобы они вышли в третий тур необходимо выполнение двух условий: 1) они не сыграли друг с другом в первом туре И выиграли обе партии в первом туре, 2) они не сыграли друг с другом во втором туре И  они победили каждый в своей партии во втором туре. Вероятность того, что это произойдет равна

Если они вышли в третий тур, то они точно сыграют друг с другом.

Таким образом, вероятность того, что Иван и Алексей сыграют друг с другом ИЛИ в первом туре, ИЛИ во втором ИЛИ в третьем туре, равна

Графически решение можно изобразить так:

Ответ: 0,25.

При бросании  первого кубика вероятность, что выпадут 3 и 5 очков, ИЛИ 5 и 3 очка равна .

Во втором кубике по две грани с числами 3 и 5, соответственно вероятность, что выпадут 3 и 5 очков, ИЛИ 5 и 3 очка равна .

Получили, что вероятность выпадения указанной комбинации при бросании второго кубика в 4 раза больше, чем при бросании первого. То есть из 5 серии бросков, при которых выпали числа 3 и 5, в среднем в 4-х случаях из пяти это будут броски второго кубика. Следовательно, вероятность того, что бросали второй кубик равна 0,8.

Ответ: 0,8.

По условию покупка одного яйца не принесет Маше принцессу нового вида, то есть вероятность того, что Маша получит такую же принцессу, как у нее уже есть, равна , соответственно, вероятность того, что при покупке одного яйца Маша НЕ получит такую же принцессу, как у нее уже есть, равна .

Маша  получит принцессу, отличную от тех, что у нее есть при покупке второго Киндер-сюрприза, если в первом купленном яйце будет такая же принцесса, как у нее есть, а во втором отличная от уже имеющихся. Вероятность этого события равна 

Маша  получит принцессу, отличную от тех, что у нее есть при покупке третьего Киндер-сюрприза, если в первом и втором купленном яйце будет такая же принцесса, как у нее есть, а в третьем отличная от уже имеющихся. Вероятность этого события равна 

Тогда вероятность получить новую принцессу при покупке второго ИЛИ третьего Киндер-сюрприза равна

Ответ: 0,192.

Искомая вероятность находится по следующей формуле:

где - вероятность того, что следующий член последовательности на единицу больше предыдущего, . Вывод этой формулы выходит за рамки школьной программы, поэтому просто используем ее для решения задачи:

Ответ: 0,55.