Задание В5: ищем расстояние между двумя точками

Задание B5 (№ 245370) Найдите расстояние между вершинами А и С₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Для решения задачи нам надо вспомнить  теоремы:

1. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.

2. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

3. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4. В прямоугольнике противоположные стороны равны.

Решение.

1. Чтобы найти расстояние между вершинами А и С₂ многогранника, нужно найти  длину отрезка А С₂ 2. Сделаем дополнительное построение. Продолжим ребро  С₂D₁ до пересечения с прямой DС. Пусть К - точка пересечения прямой С₂D₁ с прямой DС.

Так как все углы многогранника прямые, прямая С₂К перпендикулярна прямым DC и  CB, которые лежат в плоскости основания.

Следовательно, прямая С₂К перпендикулярна плоскости основания.

Следовательно, прямая С₂К перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания.

Следовательно, прямая С₂К перпендикулярна прямой АК и треугольник АКС₂ прямоугольный.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ADK:

AK²=AD² + DK², AK²=AD²= 4+1=5.

По условию С₂К=2, следовательно, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AKС₂

АС₂²= AK²+С₂К²=5+4=9

Следовательно, АС₂=3

Ответ: 3.