Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
26 Янв 2012
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство a^x=b. Пусть нам известны значения a и b и мы хотим найти значение x.

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести a чтобы получить b.

Пусть переменная x может принимать любое действительное значение, тогда на переменные a и b накладываются такие ограничения: a>o ,  a<>1,   b>0

Если нам известны значения a и b, и перед нами стоит задача найти неизвестное x, то для этой цели вводится математическое  действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение x, мы берем логарифм числа b по основанию a:

x=log_{a}b

Итак,

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести  a, чтобы получить b.

То есть основное логарифмическое тождество:

a^{log_{a}b}=b             a>o ,  a<>1,   b>0

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция  логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(a>o ,  a<>1,   b>0,  c>0,~~d>0,   d<>1

1. a^{log_{a}b}=b

2. log_{a}a=1

3. log_{a}1=0

4. log_{a}{(bc)}=log_{a}b+log_{a}c

5. log_{a}{(b/c)}=log_{a}b-log_{a}c

Следующая группа свойств позволяет представить  показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента  перед знаком логарифма:

6. log_{a}b^n=nlog_{a}b

7. log_{a^k}b={1/k}log_{a}b

8. log_{a^k}b^n={n/k}log_{a}b

9. log_{a^n}b^n=log_{a}b

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. log_{a}b={log_{d}b}/{log_{d}a}

11. log_{a}b=1/{log_{b}a}

12. (следствие из свойства 11)

{log_{a}b}*{log_{b}a}=1

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13. a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a}

14. a^{log^2_{a}b}=b^{log_{a}b}

15. a^{sqrt{log_{a}b}}=b^{sqrt{log_{b}a}}

 

Частные случаи:

log_{10}a=lg(a) - десятичный логарифм

log_{ e}(a)=ln(a)  -  натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы  применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

2^{log_{sqrt{2}}2,5}-7^{log_{343}{{(7,25)}^3}}+3^{4log_9{2,5}}

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

{log_{sqrt{2}}2,5}={log_{{2}^{1/2}}2,5}=(по свойству 7){2log_{2}2,5}=(по свойству 6) {log_{2}{{2,5}^2}}={log_{2}{6,25}}

{log_{343}{{(7,25)}^3}}={log_{7^3}{{(7,25)}^3}}={1/3}{log_{7}{{(7,25)}^3}}={3/3}{log_{7}{(7,25)}}={log_{7}{(7,25)}}

{4log_9{2,5}}={4log_{3^2}{2,5}}={4/2}log_{3}{2,5}={2}log_{3}{2,5}=log_{3}{{2,5}^2}=log_{3}{6,25}

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

2^{log_{2}{6,25}}-7^{log_{7}{(7,25)}}+3^{log_{3}{6,25}}=6,25-7,25+6,25=5,25

Ответ: 5,25

 

Пример 2. Вычислить:

{log_6{30}}/{log_{30}6}-{log_6{180}}/{log_5{6}}

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби "перекочуют" в числитель):

{log_6{30}}*{log_{6}{30}}-{log_{6}{180}}*{log_6{5}}

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

{log_{6}{(5*6)}}*{log_{6}{(5*6)}}-{log_{6}{({6^2}*5})}*{log_{6}{5}}

Применим свойства 4 и 6:

{(log_{6}5+log_{6}6)}*{(log_{6}5+log_{6}6)}-{(2log_{6}6+log_{6}5)}*{log_{6}5}=({log_{6}5+1})*{(log_{6}5+1)}-{(2+log_{6}5)}*{log_{6}5}

Введем замену  {log_{6}5}=t

({t+1})*{(t+1)}-{(2+t)}*{t}=(t+1)^2-(2+t)t

Получим:1+2t+t^2-2t-t^2=1

Ответ:  1 

 

Скачать таблицу логарифм и его свойства

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Логарифм. Свойства логарифмов
| Отзывов (75)

Отзывов (75)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. ирина
    в 19:05

    Подскащите пожалуйста log (1/2)a привести к log(2)a
    Ответить
    • Инна
      в 08:57

      1/2=2^(-1), выносим показатель степени за знак логарифма:
      log (1/2)a=- log(2)a
      Ответить
      • ирина
        в 10:31

        Спасибо просто проверяла себя
        Ответить
  2. Евгения
    в 08:02

    Помогите пожалуйста, я никак не могу понять, почему 3 в степени x-1 равное 5/3 преобразуется в x=log пяти по основанию 3
    Ответить
    • Инна
      в 11:19

      3^(x-1)=(3^x)/3
      Получили (3^x)/3=5/3, умножаем обе части на 3
      3^x=5, отсюда по определению логарифма получаем, что x=log пяти по основанию 3
      Ответить
  3. Вадим
    в 19:32

    Помогите пожалуйста, уравнение log_0,4(5x^2-8)= log_0,4(-3x)имеет два корня (1;-1,6) или один (-1,6) и почему? Заранее благодарю.
    Ответить
    • Инна
      в 06:37

      Необходимо найти ОДЗ — выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Или сделать проверку.
      Ответить
  4. Михаил
    в 10:13

    Помогите решить уравнение 3^(х+1)=14
    Ответить
    • Инна
      в 10:19

      По определению логарифма получим х+1=log_3(14)
      x=log_3(14)-1
      Ответить
  5. Наташка
    в 19:58

    Помогите решить lg^2(x^2+3x+3)+корень из(x^2-4x-5)=0
    Ответить
    • Инна
      в 13:52

      Оба слагаемых в левой части уравнения неотрицательны, следов., сумма равна нулю, если каждое слагаемое равно нулю. Получаем систему: x^2+3x+3=1 и x^2-4x-5=0
      Ответить
      • Вера
        в 16:53

        x^2+3x+3=1 почему равно 1?
        Ответить
  6. Вера
    в 16:46

    можно ли утверждать что log_6(30)хlog_6(30)=log^2_6(30)^2=log_6(900)? или =log_6(30)^2=log_6(900)?
    Ответить
    • Инна
      в 08:21

      Нет. Верно только log_6(30)хlog_6(30)=(log_6(30))^2
      Ответить
      • Вера
        в 14:11

        и тогда log_6(30)хlog_6(30)=(log_6(30))^2 чему это будет равно?
        Ответить
        • Инна
          в 14:37

          (log_6(30))^2 =(log_6(5*6))^2=(1+log_5(6))^2
          Ответить
        • Инна
          в 16:55

          Прошу прощения: (1+log_6(5))^2
          Ответить
  7. Бакар
    в 07:54

    сколько будет 2.3lg
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *