Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-01-26

Главная » СТАТЬИ » ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Логарифм. Свойства логарифмов

26 Янв 2012

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство a^x=b . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

Пусть переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные и накладываются такие ограничения: a>o , a<>1 , b>0

Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа по основанию :

$x=log_{a}b$

Итак,

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

$a^{log_{a}b}=b$ a>o , a<>1 , b>0

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

( a>o , a<>1 , b>0 , c>0,~~d>0 , d<>1

1. $a^{log_{a}b}=b$

2. $log_{a}a=1$

3. $log_{a}1=0$

4. $log_{a}{(bc)}=log_{a}b+log_{a}c$

5. $log_{a}{(b/c)}=log_{a}b-log_{a}c$

Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:

6. $log_{a}b^n=nlog_{a}b$

7. $log_{a^k}b={1/k}log_{a}b$

8. $log_{a^k}b^n={n/k}log_{a}b$

9. $log_{a^n}b^n=log_{a}b$

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. $log_{a}b={log_{d}b}/{log_{d}a}$

11. $log_{a}b=1/{log_{b}a}$

12. (следствие из свойства 11)

${log_{a}b}*{log_{b}a}=1$

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13. $a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a}$

14. $a^{log^2_{a}b}=b^{log_{a}b}$

15. $a^{sqrt{log_{a}b}}=b^{sqrt{log_{b}a}}$

Частные случаи:

$log_{10}a=lg(a)$ - десятичный логарифм

$log_{ e}(a)=ln(a)$ - натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

$2^{log_{sqrt{2}}2,5}-7^{log_{343}{{(7,25)}^3}}+3^{4log_9{2,5}}$

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

${log_{sqrt{2}}2,5}$ = ${log_{{2}^{1/2}}2,5}$ =(по свойству 7) ${2log_{2}2,5}$ =(по свойству 6) ${log_{2}{{2,5}^2}}$ = ${log_{2}{6,25}}$

${log_{343}{{(7,25)}^3}}={log_{7^3}{{(7,25)}^3}}={1/3}{log_{7}{{(7,25)}^3}}={3/3}{log_{7}{(7,25)}}={log_{7}{(7,25)}}$

${4log_9{2,5}}={4log_{3^2}{2,5}}={4/2}log_{3}{2,5}={2}log_{3}{2,5}=log_{3}{{2,5}^2}=log_{3}{6,25}$

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

$2^{log_{2}{6,25}}-7^{log_{7}{(7,25)}}+3^{log_{3}{6,25}}=6,25-7,25+6,25=5,25$

Ответ: 5,25

Пример 2. Вычислить:

${log_6{30}}/{log_{30}6}-{log_6{180}}/{log_5{6}}$

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби "перекочуют" в числитель):

${log_6{30}}*{log_{6}{30}}-{log_{6}{180}}*{log_6{5}}$

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

${log_{6}{(5*6)}}*{log_{6}{(5*6)}}-{log_{6}{({6^2}*5})}*{log_{6}{5}}$

Применим свойства 4 и 6:

${(log_{6}5+log_{6}6)}*{(log_{6}5+log_{6}6)}-{(2log_{6}6+log_{6}5)}*{log_{6}5}=$ $({log_{6}5+1})*{(log_{6}5+1)}-{(2+log_{6}5)}*{log_{6}5}$

Введем замену ${log_{6}5}=t$

$({t+1})*{(t+1)}-{(2+t)}*{t}=(t+1)^2-(2+t)t$

Получим: 1+2t+t^2-2t-t^2=1

Ответ: 1

Скачать таблицу логарифм и его свойства

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (75)

Отзывов (75)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Анна

2015-12-14 в 10:26

Спасибо большое! Замечательный у Вас сайт получился. Очень жалею, что открыла его для себя только в 11 классе

Ответить
Марианна

2016-01-19 в 12:48

Найдите log_25(24), если log_6(15)=a, log_12(8)=b.
Помогите пожалуйста с решением.

Ответить
- Инна
  
  2016-01-20 в 08:12
  
  «растащим» все логарифмы:
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Обозначим $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
- Инна
  
  2016-01-20 в 08:14
  
  Получим систему уравнений:
  
  Найти х и у, а потом подставить в выражение для $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
Fedor

2016-02-22 в 14:12

А нет ли каких удобных свойств, если выражение это логарифм в степени логарифма?

Ответить
- Инна
  
  2016-02-22 в 14:47
  
  Скорее всего, это комбинация свойств. Нужно видеть пример.
  
  Ответить
  - Fedor
    
    2016-02-22 в 17:06
    
    http://puu. sh/nhqZY/c0045fb06a.png
    
    Вот пример, не понимаю как выполнили это преобразование.
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-02-22 в 17:12
      
      Пришлите, пожалуйста, корректную ссылку
      
      Ответить
Маша

2016-03-31 в 10:08

Я не понимаю как вы получили 1+2t+t(в квадрате)-2t-t(в квадрате)
Никак не могу понять как вы к этому пришли?

Ответить
- Инна
  
  2016-03-31 в 13:55
  
  Добавила строчку в статью, посмотрите.
  
  Ответить
  - Шерхан
    
    2016-05-06 в 17:21
    
    Другое формулы есть логарифм если есть скинте
    
    Ответить
Жанна

2016-05-21 в 12:53

Инна Владимировна! У меня еще проблема с решением такого уравнения:
log_х(6х-5)=sqr(log^2_х(6х-5)-4log_x(6-5/x))+2

Ответить
- Инна
  
  2016-05-21 в 14:16
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Вводим замену: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Получаем: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  По свойству модуля
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
  - Жанна Розман
    
    2016-05-22 в 15:46
    
    Инна Владимировна! Огромное спасибо!
    
    Ответить
Александр

2016-06-26 в 09:21

Здравствуйте Инна. Помогите пожалуйста с логарифмическим уравнением.

Ответить
- Инна
  
  2016-06-26 в 10:41
  
  И где уравнение?
  
  Ответить
  - Александр
    
    2016-06-26 в 10:50
    
    log_1/x(5)+log_1/x^2(12)+1/2 log_x(3)=1
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-06-26 в 12:06
      
      1. перекинуть показатель степени из основания под знак логарифма по формуле: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      Получится: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      По свойству логарифмов: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      
      Ответить
      - Александр
        
        2016-06-26 в 16:51
        
        Спасибо вам большое
        
        Ответить
Александр

2016-06-26 в 17:03

Простите за наглость Инна, но не поможите ли мне еще раз. Если по возможности я хотелбы вам скинуть фотографию с этими заданиями.
Если нет я их напичатаю.

Ответить
- Инна
  
  2016-06-26 в 17:29
  
  скидывайте
  
  Ответить
  - Александр
    
    2016-06-26 в 17:40
    
    Сюда написать или можно вам на электронную почту?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-06-26 в 17:41
      
      Все равно.
      
      Ответить
      - Александр
        
        2016-06-26 в 17:45
        
        Можно тогда узнать электронную почту вашу? Или я дам свою чтоб вы не писали сюда свой эмайл.
        king2009@mail.ru
        
        Ответить
      - Инна
        
        2016-06-26 в 18:04
        
        напишите сюда //ege-ok.ru/kontaktyi
        я отвечу уже завтра
        
        Ответить