Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-01-31

Главная » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Как найти производную. Таблица производных

31 Янв 2012

ПРОИЗВОДНАЯ

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

${(x^n)}prime=nx^{n-1}$

Заметим, что может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. ${(x^5)}prime=5x^4$

2. ${(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}$

3. ${(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3$

3. Производная показательной функции:

${(a^x)}prime={a^x}ln{a}$

Пример.

${(3^x)}prime={3^x}ln{3}$

Частный случай этой формулы:

${(e^x)}prime={e^x}$

4. Производная логарифма:

${(log_{a}x)}prime=1/{xlna}$

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

${(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}$

${(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}$

6. Производные обратных тригонометрических функций:

${(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arctgx)}prime=1/{1+x^2}$

${(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}$

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

${(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}$

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x) , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x) , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

$f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0$

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

$log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}$

Так как по условию x>0 , следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

${(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}$

Пример 2. Найти производную функции:

$f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}$

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

$f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} = x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}$

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

${(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}$

Пример 3. Найти производную функции

$y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}$

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

$y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}$

Теперь легко найти производную:

${y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}$

Пример 4. Найти производную функции:

$f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}$

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x) по формуле производной дроби:

$(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}$

В нашем случае:

$u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}$

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

${(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}$

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти производную. Таблица производных

Инна | Отзывов (657)

Отзывов (657)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Алексей

2015-01-18 в 11:46

Помогите найти производную 4^x*tgx (тангенс с иксом в корне)

Ответить
Дмитрий

2015-01-19 в 15:20

Помогите, пожалуйста, найти производную сложной ф-ции у= (arctgx)^lnx

Ответить
- Инна
  
  2015-01-19 в 16:10
  
  возьмем от обеих частей ln
  lny=ln((arctgx)^lnx)
  выносим показатель степени за знак логарифма:
  lny=lnx*ln(arctgx)
  берем производную:
  (lny)’=(lnx*ln(arctgx))’
  1/y*y’=(lnx*ln(arctgx))’
  y’=y*(lnx*ln(arctgx))’
  y’=(arctgx)^lnx*(lnx*ln(arctgx))’
  Осталось найти (lnx*ln(arctgx))’
  
  Ответить
  - Дмитрий
    
    2015-01-19 в 16:15
    
    Спасибо огромное! Как говорится все решает первый шаг!
    
    Ответить
Светлана

2015-01-20 в 08:10

Пожалуйста, подскажите. Мне надо найти производную dx/dy. Дано:
x/y=7^y

Ответить
- Инна
  
  2015-01-20 в 17:04
  
  x/y=7^y
  x=7^y*y
  Рассматриваем х как функцию от у
  dx/dy=7^yln7*y+7^y
  
  Ответить
виктор

2015-01-20 в 16:07

помогите пожалуйста
y=2x+ln(sinx+2cosx)
найти значение диффренциала функции y(x) в точке Х0=2П

Ответить
- Инна
  
  2015-01-20 в 17:02
  
  dy=y’dx
  y’=2+(1/sinx+2cosx)*(cosx-2sinx)
  dy=(2+(1/sinx+2cosx)*(cosx-2sinx))dx
  Теперь в выражение (2+(1/sinx+2cosx)*(cosx-2sinx)) нужно подставить 2П вместо х и найти значение. Пусть оно равно А. В ответе записываем А*dx
  
  Ответить
Михаил

2015-01-20 в 17:24

Инна, помогите пожалуйста!!! Нужно составить уравнение касательной у=f(x)=tan(x/4) в точке Хо=пи. С уважением, Михаил.

Ответить
виктор

2015-01-20 в 17:37

спасибо_)

Ответить
Александр

2015-01-21 в 12:11

Помогите пожалуйста Надо найти производную второго порядка: y=ctg(x^2)

Ответить
- Александр
  
  2015-01-21 в 12:16
  
  Помогите пожалуйста Надо найти производную второго порядка: y=ctg(x 2)
  
  Ответить
- Инна
  
  2015-01-21 в 12:21
  
  y’=(-1/sin^2(x^2))*2x=-2x/sin^2(x^2)
  y»=(y’)’
  Ищем производную -2x/sin^2(x^2)
  Это производная дроби: (u/v`)’=(u’v-v’u)/v^2 (1)
  u=-2x, u’=-2
  v=sin^2(x^2), v’=2sin(x^2)*cos(x^2)*2x
  Теперь это все подставить в формулу (1)
  
  Ответить
  - Александр
    
    2015-01-21 в 12:30
    
    А Можно пожалуйста в письменном виде в скрине а то я не очень понемаю все эти обозначение
    
    Ответить