Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
31 Янв 2012
ПРОИЗВОДНАЯ

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно.  Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

 

 

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам  получаем  другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение  производной, существует таблица производных  элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

{(x^n)}prime=nx^{n-1}

Заметим, что n может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. {(x^5)}prime=5x^4

2. {(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}

3. {(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3

3. Производная показательной функции:

{(a^x)}prime={a^x}ln{a}

Пример.

{(3^x)}prime={3^x}ln{3}

Частный случай этой формулы:

{(e^x)}prime={e^x}

4. Производная логарифма:

{(log_{a}x)}prime=1/{xlna}

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

{(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}

{(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}

6. Производные обратных тригонометрических функций:

{(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}

{(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}

{(arctgx)}prime=1/{1+x^2}

{(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}

 

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

{(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x), полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите  в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x), используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные  этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}

Так как по условию x>0, следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

{(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}

Пример 2. Найти производную функции:

f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} =  x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

{(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}

Пример 3. Найти производную функции

y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени  xи выделим в явном виде числовые коэффициенты:

y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}

Теперь легко найти производную:

{y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}

Пример 4. Найти производную функции:

f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x)  по формуле производной дроби:

(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}

В нашем случае:

u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

{(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти производную. Таблица производных
| Отзывов (657)

Отзывов (657)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Юлия
    в 17:50

    Помоги пожалуйста найти производную y=cosx/x .
    Найти все значения x при которых выполняется неравенство f'(x)больше или равно 0 , если f(x)=7.5^2-x^3.Заранее спасибо большое
    Ответить
    • Инна
      в 09:30

      (cosx/x)’=(-sinx*x-1*cosx)/x^2
      Производная дроби: (u/v)’=(u’v-v’u)/v^2
      f'(х)=15x-3x^2>=0 — решить неравенство.
      Ответить
  2. Alan
    в 13:16

    Помогите пожалуйста.
    №1
    1.f(x)=-8x^7
    2.f(x)=1/4x^-10
    3.f(x)=7*1/x
    4.f(x)=17*корень из 3
    5.f(x)=427
    6.f(x)=x^9*(6x+14)
    7.f(x)=(3x-18)(5+7x)
    8.f(x)=7x-3/2-5x
    9.f(x)=(9x+5)^8
    10.f(x)=2x^16+x^3+6 и всё это под корнем
    №2
    1.Дано: f(x)=(x^11-2x+3)^6+8x^2 Найти: f'(5), f'(-1/2)
    Ответить
    • Alan
      в 11:28

      Прошу, помогите пожалуйста. Очень нужно.
      Ответить
    • Инна
      в 12:15

      Алан, пришлите ваше решение, я проверю.
      Ответить
  3. Андрей
    в 14:46

    помогите пожалуйста:
    Найти частные производные Ux ;Uy функции

    5 5 4 3 3 4
    U = 2ln(x + y ) + 4arctg(x ∙ y ) + 6exp(x ∙ y )
    Ответить
  4. Андрей
    в 14:49

    помогите пожалуйста:
    Найти частные производные Ux ;Uy функции

    U = 2ln(x^5 + y^5 ) + 4arctg(x^4 ∙ y^3 ) + 6exp(x^3 ∙ y^4 )
    Ответить
  5. Андрей
    в 14:52

    Помогите решить:
    Найти частные производные Ux ;Uy функции

    U = 2ln(x^5 + y^5 ) + 4arctg(x^4 ∙ y^3 ) + 6exp(x^3 ∙ y^4 )
    Ответить
  6. Александр
    в 15:34

    Здравствуйте Инна помогите пожалуйста решить уравнения
    1. F(x)= x^3-3x^3+4x-5
    2. F(x)=(x+1)*√x-1
    3. F(z)=(√2+1)/2
    4. F(t)=f^2+L^2z
    5. F(x)=Ln (x-1)/(x+1)
    Ответить
    • Инна
      в 07:56

      Александр, я не поняла, что это за уравнения.
      Ответить
      • Александр
        в 08:29

        НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ
        Ответить
  7. Александр
    в 15:51

    ..
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *