Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-01-31

Главная » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Как найти производную. Таблица производных

31 Янв 2012

ПРОИЗВОДНАЯ

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

${(x^n)}prime=nx^{n-1}$

Заметим, что может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. ${(x^5)}prime=5x^4$

2. ${(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}$

3. ${(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3$

3. Производная показательной функции:

${(a^x)}prime={a^x}ln{a}$

Пример.

${(3^x)}prime={3^x}ln{3}$

Частный случай этой формулы:

${(e^x)}prime={e^x}$

4. Производная логарифма:

${(log_{a}x)}prime=1/{xlna}$

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

${(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}$

${(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}$

6. Производные обратных тригонометрических функций:

${(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arctgx)}prime=1/{1+x^2}$

${(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}$

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

${(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}$

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x) , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x) , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

$f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0$

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

$log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}$

Так как по условию x>0 , следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

${(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}$

Пример 2. Найти производную функции:

$f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}$

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

$f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} = x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}$

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

${(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}$

Пример 3. Найти производную функции

$y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}$

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

$y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}$

Теперь легко найти производную:

${y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}$

Пример 4. Найти производную функции:

$f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}$

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x) по формуле производной дроби:

$(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}$

В нашем случае:

$u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}$

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

${(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}$

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти производную. Таблица производных

Инна | Отзывов (657)

Отзывов (657)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

olzhas

2015-11-08 в 14:06

6/x^4-3/x+3x^3-√x^7
Помогите пожалуйста найти производную функций

Ответить
- Инна
  
  2015-11-13 в 08:33
  
  Сначала преобразовать к степенной функции, получим $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Дальше по формуле производной степенной функции: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
Размик

2015-11-08 в 14:08

Помогите пожалуйста нужно Найти производную функции 3/((1+cos(x/3))^2)

Ответить
Сымбат

2015-11-09 в 19:12

F(x)’=Ln x-1/x2^+1
F'(2)-?
Помогите решить пожалуйста.Заранее благодарю

Ответить
Анжелика

2015-11-13 в 07:27

Производная функции y=2x^4+√x+3
Производная функции y=cosx-lnx+sinx
Какой имеют вид
Пожалуйста помогите решить

Ответить
- Инна
  
  2015-11-13 в 08:01
  
  √x=x^(1/2)
  все с помощью таблицы производных
  
  Ответить
Анжелика

2015-11-13 в 08:55

Найдите значения x,при которых значение производнойфункцииf(x)равно 0 f(x)=x^3-2x

Ответить
Наталья

2015-11-17 в 15:18

Помогите пожалуйста решить.Найти производную функции и вычислить ее значение в данной точке S=t^2+t+2 под корнем в 3 степени, где S'(2).Спасибо!

Ответить
- Инна
  
  2015-11-17 в 15:27
  
  Ответить
  - Наталья
    
    2015-11-19 в 21:38
    
    Спасибо большое.
    Тут вот возникла загвоздка в решении линейного уравнения, помогите пож-та. Дана система линейных уравнений:
    x+y-z=2
    -2x+y+z=3
    x+y+z=6
    Решите систему уравнений: а) С помощью определителей; б) Методом Гаусса; в) С помощью обратной матрицы.
    
    Не знаю то или не то я решала, запуталась совсем. Методом Гаусса у меня получились ответы x=11,y=-7,z=2 верно?
    а с пунктами А) и В) я вообще запуталась, помогите решить пож-та! Спасибо!!
    
    Ответить
Эмма

2015-11-18 в 10:13

xe^y^2+ye^x^2=cos(x^2+y^2)-1
помогите пожалуйста найти Производную функции, заданной неявно.
буду очень благодарна

Ответить
- Инна
  
  2015-11-18 в 12:07
  
  см. здесь: http://www.mathprofi.ru/proizvodnye_neyavnoi_parametricheskoi_funkcii.html
  
  Ответить
  - Игорь
    
    2015-11-19 в 05:04
    
    Помогите найти производную y=ln^3 Lnx/4
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-11-19 в 09:09
      
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      
      Ответить
      - Влад
        
        2015-11-25 в 16:13
        
        Решите пожалуйста уравнение,где дано f'(x)=0, если f(x)=0,5x^2 -x +1/0,5x-0,5(это дробь)
        Буду во многом благодарен)
        
        Ответить