Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
08 Фев 2012
12 Задание (2022) (C1)ВИДЕОУРОКИЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение логарифмических уравнений — 2

Не всегда, глядя на исходное логарифмическое уравнение, можно определить его тип. Поэтому, если нет идей получше, полезно сделать некоторые предварительные действия:

1. Постараться привести все логарифмы к одному основанию. Для этого нужно воспользоваться формулой перехода к новому основанию.

2. "Растащить" выражения, стоящие под знаком логарифма и в основании логарифма.

Рассмотрим для примера решение уравнения:

log_{x^2}{16}+log_{2x}{64}=3

Начнем с ОДЗ уравнения. Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля, основание логарифма больше нуля и не равно 1.

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x^2>0} {x^2<>1} {2x>0}{2x<>1}}}{ }

Чтобы упростить выражения, стоящие в основании логарифмов, приведем логарифмы к основанию 2 (мы выбираем именно это основание, так как в левой части уравнения присутствуют числа 2, 16, 64 - степени числа 2. Получим:

{log_2{16}}/{log_2{x^2}}+{log_2{64}}/{log_2{2x}}=3

Применим свойства логарифмов:

{log_2{2^4}}/{2log_2{x}}+{log_2{2^6}}/{log_2{2}+log_2{x}}=3

Упростим выражение в левой части уравнения:

4/{2log_2{x}}+6/{log_2{2}+log_2{x}}=3

2/{log_2{x}}+6/{1+log_2{x}}=3

Теперь мы можем ввести замену: log_2{x}=t. Получим уравнение относительно  t:

2/t+6/{1+t}=3

Перенесем все cлагаемые в левую часть уравнения и приведем к общему знаменателю:

{2(1+  t)+6t-3t(1+t)}/{t(1+t)}=0

{2+2t+6t-3t-3t^2}/{t(1+t)}=0

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получаем систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-3t^2+5t+2=0} {t(1+t)<>0} }}{ } 

Отсюда:

t_1=2, t_2=-{1/3}

Вернемся к исходной переменной:

log_2{x}=2,  log_2{x}=-{1/3}

x_1=4,  x_2=2^{-1/3}

Оба корня удовлетворяют ОДЗ уравнения.

Ответ: x_1=4,  x_2=2^{-1/3}

Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением уравнения:

5log_{x/9}{x}+log_{9/x}{x^3}+8log_{9x^2}{x^2}=2

Решение  логарифмических уравнений остальных типов мы рассмотрим здесь и здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение логарифмических уравнений — 2
| Отзывов (13)

Отзывов (13)

  1. Маргарита
    в 14:50

    решила данное уравнение. не понимаю. разве такое может стоять C1 ???
    Ответить
    • Инна
      в 15:00

      Слишком просто или слишком сложно?
      Ответить
      • Маргарита
        в 13:04

        принцип ясен,но оно довольно объёмное и есть некоторые сложности…по крайней мере, то C1,которое решаю я в школе,с этим даже рядом не стоит.
        Ответить
        • Инна
          в 13:33

          Здесь главное понять принцип, а остальное дело техники. Задания группы С очень сильно отличаются по уровню сложности, надо быть ко всему готовыми 🙂
          Ответить
  2. max
    в 08:51

    Это для вас дело техники,а для нас-учеников,которые такой вид неравенства первый раз за всю жизнь видят,очень даже не легко.Спасибо больше за видео,нам в школе простое показывают,а вот такое нет!
    Ответить
  3. Дина
    в 11:32

    Спасибо вам огромное за этот видеоурок. Но у меня к вам небольшой вопрос. Почему, если приводить логарифмы к основанию x, то ничего не выходит?
    Ответить
    • Инна
      в 05:11

      Можно приводить к логарифмам с основанием х. Нужно только следить за тем, чтобы не произошло сужение ОДЗ.
      Ответить
      • Дина
        в 16:31

        А как может произойти сужение ОДЗ?
        Ответить
        • Инна
          в 18:01

          Например, если х в основании, то он не равен 1 и больше 0, а по условию х может быть равен 1.
          Ответить
          • Дина
            в 12:56

            Т.е. по возможности нужно стараться приводить логарифмы к «числовым» основаниям?
            Ответить
  4. Инна
    в 13:24

    да
    Ответить
  5. Мадина Бекназарова
    в 07:07

    Я понила но не могу решать другие логарифмические уравнения.
    Ответить
    • Влад
      в 16:36

      Потому что ты понИла, а надо понЯть.
      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *