Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Виктория

2017-02-17 в 13:45

помогите пожалуйста решить неравенство (1/4)^x+6*(1/2)^4>0.

Ответить
- Инна
  
  2017-02-17 в 14:49
  
  Может быть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ ?
  
  Ответить
  - Виктория
    
    2017-02-17 в 15:19
    
    нет (1/4)^x
    
    Ответить
    - Инна
      
      2017-02-17 в 15:41
      
      А 1/2 в какой степени?
      
      Ответить
      - Виктория
        
        2017-02-17 в 19:57
        
        (1/4) в степени х + 6 умножить (1/2) в 4 степени больше 0
        
        Ответить
      - Инна
        
        2017-02-18 в 07:48
        
        Здесь х — любое действительное число, так как левая часть неравенства всегда больше нуля.
        
        Ответить
      - Виктория
        
        2017-02-18 в 08:15
        
        спасибо
        
        Ответить
Аиша

2017-03-20 в 14:50

Помогите решить 4(2x+3)^2 / 3×(5 в степени 1/3) меньше нуля

Ответить
- Инна
  
  2017-03-21 в 07:11
  
  Если я правильно поняла:
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ — нет решений, так как $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
Кирилл

2017-04-11 в 20:39

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить вот такое неравенство:
(3^((2x^2)+7))+(3^(x+3)*(x+1))-4*(3^8x)>=0

Использовал замену h(x)^p(x)-1
(3^((2x^2)+7)-1)+1 ,но ничего не получилось 🙁
Буду очень благодарен)

Ответить
- Инна
  
  2017-04-12 в 05:38
  
  (x+3)*(x+1)=x^2+4x+3
  Разделить почленно на 3^(x^2+4x+3)
  А затем ввести замену 3^(x^2-4x+3)=t
  Получится 3t+1-4/t =0
  
  Ответить
Валерия

2017-11-23 в 11:48

Помогите решить неравенство 3^2х-7^3х+12>0

Ответить
Юлия

2018-10-12 в 11:19

Помогите, пожалуйста, решить неравенство 16^(x-2)>2^x×(1/32)^(x-4)

Ответить
- Инна
  
  2018-10-12 в 11:27
  
  Записываем обе части неравенства в виде степени с основанием 2:
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Отсюда
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
Михаил

2018-11-11 в 22:27

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить вот такое неравенство:
(х+2)^4 -х^4≥16х+16
выяснить, при каких значениях параметра k уравнение f(х)=k(х+1) где f(х)=(х+2)^4-х^4 имеет три различных корня.
Буду очень благодарен)

Ответить
- Инна
  
  2018-11-12 в 06:48
  
  Михаил, левую часть неравенства разложите на множители по формуле разности квадратов, потом все перенесите влево и вынесите за скобку х+1.
  При разложении на множители выражения $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ преобразовать, чтобы получилось выражение с переменной $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . У меня получилось $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить