Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Фев 2012
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

a^{f(x)} V a^{g(x)}, где  V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция y=a^{f(x)} возрастает при всех действительных значениях x, если a>1.  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

{(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}

Так как основание степеней 0,3<1, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

{x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0

Корни числителя:

x_1=3,   x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  x<1,  2<x<3,  x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

5^{2x}-6*5^x+5<0

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: t=5^x, t>0

Получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }

Отсюда: x>0,  x<1

Ответ: 0<x<1

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение показательных неравенств
| Отзывов (497) | Метки:

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Татьяна
    в 18:36

    Не могу решить пример: 3^(x+4) + 3^ (-x-3)>4
    Ответить
    • Инна
      в 05:38


      Вводим замену:

      Ответить
  2. Дарья
    в 07:47

    Помогите решить неравенства!
    1)0,4^x-2,5^x+1>1,5
    2)25×0,04^2x>0,2^x(3-x)
    Ответить
    • Инна
      в 08:03

      1)
      отсюда

      вводим замену:

      2)



      Ответить
  3. Дарья
    в 07:53

    Можете помочь решить вот это уравнение?
    4×3^x-9×2^x=5×3^x/2×2^x/2
    Ответить
    • Инна
      в 08:14

      Это однородное уравнение. см здесь
      Ответить
  4. Елена
    в 13:20

    Не понимаю как решить неравенство 8*5^x-125*3^x3*log125/8 основание log равно 5/3
    Ответить
    • Инна
      в 13:57

      Условие не понятно, расставьте, пожалуйста скобки.
      Ответить
  5. Кира
    в 19:29

    Помогите, пожалуйста. []-основание,
    1. 1/(log[2х-9](х-1))33
    Ответить
    • Инна
      в 06:03

      А какой знак неравенства?
      Ответить
  6. zheka
    в 17:10

    Помогите пожалуйста Х^3×3^Х-3^Х>0
    Ответить
    • Инна
      в 16:53

      вынесем общий множитель
      Ответить
  7. Виктория
    в 08:51

    Помогите решить показательное неравенство
    9^x<0
    (1/3)^x больше или равно 5
    Ответить
    • Инна
      в 16:56

      — нет решений
      Ответить
      • Виктория
        в 13:43

        спасибо огромное
        Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *