Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Иван

2017-01-09 в 20:57

Не могу понять как решаются вот такие неравенства
2^х+2 + 2^х>20

Ответить
- Инна
  
  2017-01-10 в 01:01
  
  Выносим множитель в наименьшей степени:
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
Илья

2017-01-10 в 09:29

Помогите пожалуйста решить (sqrt2 + 1)^((6x-6)/(x+1)) <= (sqrt2 — 1)^-x

Ответить
- Инна
  
  2017-01-10 в 09:43
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Вводим замену $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
  - Александр
    
    2017-01-28 в 09:36
    
    помогите решить (3-2sqrt2)^2x-6*(1/(3+2sqrt2))^x+1<=0
    
    Ответить
    - Инна
      
      2017-01-28 в 10:22
      
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      Вводим замену: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      
      Ответить
Николай

2017-01-23 в 13:50

0,5^(2*x+5)-2*0,5^(x+3)-64*0,5^(x+2)+128<=0

Ответить
- Инна
  
  2017-01-23 в 13:56
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Упростить и ввести замену $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
  - Николай
    
    2017-01-23 в 14:09
    
    А как упростить?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2017-01-23 в 14:25
      
      Можно сначала ввести замену.
      Упростить: сократить дроби и привести подобные члены.
      
      Ответить
      - Николай
        
        2017-01-23 в 14:30
        
        Оооо, спасибо , я сам это знал, только не выходит (
        
        Ответить
      - Инна
        
        2017-01-23 в 15:12
        
        выходит:
        
        $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
        $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
        $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
        Дальше все получается
        $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
        
        Ответить
Николай

2017-01-23 в 13:51

Помогите решить

Ответить
Иван

2017-01-23 в 15:47

помогите сделать:
2^x+3*2^-x<=4

Ответить
- Инна
  
  2017-01-23 в 15:58
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
Юля

2017-01-25 в 15:06

Объясните пожалуйста как решать с модулем
(корень из 5)^(-3|x|) >= 5^(-|9x-1|)

Ответить
- Инна
  
  2017-01-25 в 15:14
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (система),
  так как если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , то $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (система)
  
  Ответить
  - Юля
    
    2017-01-25 в 15:21
    
    А если бы только перед одной степенью минус стоял? как тогда преобразовывать? и как бы тогда это повлияло на знаки в модуле?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2017-01-25 в 15:37
      
      Посмотрите здесь, первое видео
      
      Ответить
      - Юля
        
        2017-01-25 в 15:49
        
        Спасибо)
        
        Ответить
Мария

2017-01-26 в 12:40

Помогите пожалуйста решить показательное неравенство 9^х + 3^х – 12 > 0

Ответить
- Инна
  
  2017-01-27 в 10:33
  
  введем замену:
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ — невозможно
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить