Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Маша

2012-10-15 в 16:41

2^x + 2^|x| >= 2 корня из 2
Помогите, пожалуйста!

Ответить
- Инна
  
  2012-10-15 в 17:12
  
  Раскрой модуль: рассмотри 2 случая — когда х< =0 и когда x>=0. Получишь на каждом промежутке свое уравнение. Посмотри здесь: //ege-ok.ru/category/uravneniya-i-neravenstva-s-modulem/
  
  Ответить
  - Маша
    
    2012-10-15 в 17:18
    
    Вот когда х отрицательный нули и получаются странными. Хотя конечный ответ: [1\2;+бесконечность).
    
    Ответить
    - Инна
      
      2012-10-15 в 17:30
      
      У меня отрицательные х тоже получились в ответе
      
      Ответить
      - Маша
        
        2012-10-15 в 17:31
        
        Так, значит, неверно?
        http://cs308827.userapi.com/v308827869/370c/FoM1cWZNhSg.jpg
        
        Ответить
      - Инна
        
        2012-10-15 в 17:40
        
        Ты во втором случае не учла, что х<0
        
        Ответить
      - Инна
        
        2012-10-15 в 18:35
        
        Нужно рассмотреть совокупность двух систем: при x>0 и x<0, а ты ищешь пересечение
        
        Ответить
      - Маша
        
        2012-10-15 в 17:32
        
        А, я поняла: лог корень из двух+ 1 по осн 2 больше 0,5 ?
        
        Ответить
      - Инна
        
        2012-10-15 в 17:39
        
        Нет, у меня получилось x<=log по осн 2 от корень из 2 -1
        
        Ответить
      - Маша
        
        2012-10-15 в 17:33
        
        И тоже включаются в ответ как числа?
        
        Ответить
      - Маша
        
        2012-10-15 в 17:40
        
        Хм. Я перессмотрю. Спасибо.
        
        Ответить
Оля

2012-10-29 в 14:39

Помогите пожалуйста решить
4^-х^2-х>1

Ответить
оксана

2012-11-07 в 07:53

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста как решить показательное неравенство, если в показателе стоит модуль?

Ответить
- Инна
  
  2012-11-07 в 08:41
  
  Общие рекомендации:
  1. Ввести замену, если неравенство содержит несколько одинаковых выражений с модулем.
  2. Раскрыть модуль: //ege-ok.ru/category/uravneniya-i-neravenstva-s-modulem/
  
  Ответить
Кирилл

2012-11-10 в 11:13

подскажите, пожалуйста, как решить такое неравенство:

〖(1/2)〗^(x^2-5)>〖(1/10)〗^x

Ответить
- Инна
  
  2012-11-10 в 11:24
  
  Возьми от обеих частей неравенства логарифм по основанию 1/2
  
  Ответить
  - Кирилл
    
    2012-11-10 в 11:40
    
    спасибо, жаль только, что мы логарифмы не прошли еще.
    
    Ответить
Танюша

2012-11-14 в 01:59

Помогите контрольная, 5в степени х+125*5в степени -х=30

Ответить
- Инна
  
  2012-11-14 в 05:50
  
  5в в степени х прими за t
  
  Ответить
Виталий

2012-11-26 в 14:13

помогите не могу понять как сделать
(67/5)^23x-10=(1/24)^23x-10

Ответить
- Инна
  
  2012-11-26 в 14:18
  
  Обе части уравнения раздели на (1/24)^23x-10. Получишь справа 1, следоват. показатель =0
  
  Ответить
Виталий

2012-11-26 в 14:35

и ещё вот
1) 26^((2x/23)-1)+26^2x/23=27
2)24^x-1=1/корень 23 степени из 24
3) 3*4^x+3*4^(x+1)+4^(x+2)=62
4)3^2x-2*3^x-3=0

Ответить
- Инна
  
  2012-11-26 в 15:09
  
  Читай здесь: //ege-ok.ru/2012/01/23/reshenie-pokazatelnyih-uravneniy/
  
  Ответить
  - Виталий
    
    2012-11-26 в 15:11
    
    спасибо, но я уже сам нашел как делать
    не знаю только правильно сделал или нет
    
    Ответить