Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Фев 2012
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

a^{f(x)} V a^{g(x)}, где  V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция y=a^{f(x)} возрастает при всех действительных значениях x, если a>1.  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

{(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}

Так как основание степеней 0,3<1, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

{x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0

Корни числителя:

x_1=3,   x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  x<1,  2<x<3,  x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

5^{2x}-6*5^x+5<0

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: t=5^x, t>0

Получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }

Отсюда: x>0,  x<1

Ответ: 0<x<1

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение показательных неравенств
| Отзывов (497) | Метки:

Отзывов (497)

Следующие комментарии →
  1. Леонид
    в 15:04

    Хороший урок. НО как быть если уравнение имеет вид t^2-t-7^7>0 , где t=7^(-x^2)
    Ответить
    • Инна
      в 15:19

      Мне нужно знать исходное уравнение
      Ответить
    • Andy
      в 10:41

      Здравствуйте я честно признаюсь я сейчас не понимаю алгебру,но раньше понимал.Статья очень хорошая помогите решить.
      0,5 в степени -12 сравнить с 0,5 в степени -11
      Заранее спасибо)
      Ответить
      • Инна
        в 11:00

        Основание меньше единицы, следов. функция убыв., следов. чем меньше показатель, тем больше степень: 0,5 в степени -12 > 0,5 в степени -11
        Ответить
  2. Роман
    в 12:51

    может и мне поможете? )

    Корень и 5 в степени х больше кубического корня из 25…
    Ответить
    • Инна
      в 12:56

      ПРиводишь к основанию 5 и представляешь корни в виде степени: 5^(x/2)>5^(2/3); (x/2)>(2/3); x>4/3
      Ответить
      • Роман
        в 12:58

        у меня решение такое же… это хорошо, напишите пожалуйста пояснения… и нудно ли строить какой-либо график?
        Ответить
      • Angel
        в 07:51

        Помогите пожалуйста!!!) 7–5х+1=49
        Ответить
        • Инна
          в 10:12

          49 представь в виде 7^2 и приравняй показатели степеней.
          Ответить
  3. Влада
    в 06:19

    15^x-9*5^x-3^x+9<=0
    Если можете, то прошу помочь)
    Ответить
    • Инна
      в 12:24

      Сгруппировать 15^x=3^x5^x и 3^x, 9*5^x и 9, разложить на множители, приравнять каждый множ к нулю, и дальше методом интервалов
      Ответить
  4. Анастасия
    в 16:41

    помогите, пожалуйста 5*4^x+2*25^x<=7*10^x
    Ответить
    • Инна
      в 07:23

      Это однородное показательное неравенство. Раздели на 25^ x и введи замену. см. здесь: //ege-ok.ru/2012/01/23/reshenie-pokazatelnyih-uravneniy/
      Ответить
      • Анастасия
        в 11:55

        спасибо большое, очень помогло)
        Ответить
  5. Серафима
    в 11:18

    3^x + 3^x+1> 12

    Если можно с подробным пояснением))
    Ответить
    • Инна
      в 16:24

      Если в показателе х+1, вынеси за скобку слева 3^x. Получится слева 3^x умножить на 4, а потом обе части раздели на 4
      Ответить
  6. Анна
    в 10:10

    помогите решить уравнение 12^x=3
    Ответить
    • Инна
      в 10:42

      x=log по основанию 12 от 3
      Ответить
  7. Анастасия
    в 15:30

    Помогите мне 5 в степени х-1< либо равно корень из 5.
    Ответить
    • Инна
      в 16:02

      х-1≤1/2
      Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *