Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Марина

2015-10-27 в 08:46

здравствуйте как решать данное неравенство x^-3/4 — 1<=(x-1)^4/3 при помощи производной?

Ответить
- Инна
  
  2015-10-27 в 13:08
  
  Производная левой части:
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ — производная отрицательна, левая часть — убывающая функция
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ — функция, стоящая в правой части убывает при $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и возрастает, если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  левая часть равна правой при х=1,
  при х=0+ $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ чуть меньше, чем 1, а $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ стремится в бесконечность
  Можно проверить, что на интервале (0;1) функция $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ убывает медленнее, чем $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  х=1 это единственный корень уравнения $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  очевидно, что при $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , а $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , то есть решение неравенства $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .
  см. графики http://prntscr.com/8vvqet
  
  Ответить
Виталий

2015-10-30 в 14:51

0,5^4-3х<4 и 5^2х+1+5<5^х+2 +5^х
Порешал,неполучилось

Ответить
- Инна
  
  2015-10-30 в 15:00
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ввести замену $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
Евгений

2015-11-08 в 09:21

Преподаватели говорят, что решение неполное. Как? Где ошибка? Подскажите, пожалуйста. Благодарен заранее

2^{x+3}-x^3*2^x <=16-2x^3

2^x*2^3-x^3*2^x <=16-2x^3

2^x(8-x^3) <= 2 8(8-x^3)

(2^x-2)(8-x^3) <= 0

x-1<=0
x<=1

8-x^3=2

(-OO; 1] [2; +oo)

Ответить
- Инна
  
  2015-11-08 в 12:55
  
  У меня получился такой же ответ. МОжет нужно как-то подробнее расписать, например, обосновать знаки.
  
  Ответить
Дарья Романовна

2015-11-10 в 14:42

помогите, пожалуйста, решить неравенство
x^(-3/4)-1≤(x-1)^(4/3)

Ответить
- Инна
  
  2015-11-10 в 15:11
  
  графически: http://prntscr.com/91756s
  
  Ответить
Дарья

2015-12-10 в 20:22

Инна, хочется вас поблагодарить от души за вашу помощь каждому, пусть ваша жизнь будет счастливой и полна радостных и ярких моментов!!!

Ответить
- Инна
  
  2015-12-11 в 07:45
  
  Спасибо)))
  
  Ответить
Таша

2016-02-03 в 13:30

1) Найдите бОльший корень уравнения :

(x^2-9) корень из(2-х) =0

2) решить уравнение :

2 * 3х (и всё делённое) /9 = 18

Ответить
- Инна
  
  2016-02-04 в 12:37
  
  1) x^2-9=0 при условии 2-х>=0
  или 2-х=0
  2) не поняла условие.
  
  Ответить
Аня

2016-02-03 в 22:27

0<2^-x<10
как такое решать?

Ответить
- Инна
  
  2016-02-04 в 05:50
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
  - Аня
    
    2016-02-04 в 17:07
    
    Спасибо огромное!
    Но как вы получили вторую строчку?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-02-04 в 17:26
      
      От обеих частей неравенства взяла логарифм по основанию 2.
      
      Ответить