Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Мария

2016-02-04 в 11:29

5^5/x>=25 как такое?

Ответить
- Инна
  
  2016-02-04 в 12:27
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Ответ: (0;2,5]
  
  Ответить
Анна

2016-02-04 в 15:25

Помогите пожалуйста систему решить
2^х-2^у=12
х+у=6

Ответить
- Инна
  
  2016-02-04 в 16:01
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ ,
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ ,
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
  - Анна
    
    2016-02-04 в 16:30
    
    Спасибо огромное:)
    
    Ответить
Диля

2016-02-05 в 16:03

Помогите, пожалуйста, решить
(13-5 * 3^x) / (9^x -12*3^x +27) >= 0.5

Ответить
- Инна
  
  2016-02-05 в 16:06
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Решить неравенство относительно замены методом интервалов, а потом вернуться к исходной переменной.
  
  Ответить
  - Диля
    
    2016-02-05 в 16:25
    
    Спасибо, но , вот именно до этого места я дошла, дальше не помню, как решать :с
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-02-05 в 16:33
      
      см. здесь //ege-ok.ru/2012/01/05/reshenie-ratsionalnyih-neravenstv-met
      
      Ответить
      - Диля
        
        2016-02-05 в 16:36
        
        Большое спасибо!
        
        Ответить
Женя

2016-02-06 в 15:05

1<7^x+4<49

Ответить
- Инна
  
  2016-02-07 в 07:47
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ — выполняется для любого х.
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
Настя

2016-02-07 в 10:54

Помогите пожалуйста решить неравенство)

3^х+4 + 3^-х-3 > 4

Ответить
- Инна
  
  2016-02-07 в 17:56
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Решить неравенство относительно t, потом вернуться к х
  
  Ответить
  - Настя
    
    2016-02-08 в 20:10
    
    Спасибо огромное!
    
    Ответить
София

2016-02-07 в 17:43

Помогите решить!!!
5 в степени квадратное уравнение 5×2-8x+12 и все это равно=1

Ответить
- Инна
  
  2016-02-07 в 17:59
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
София

2016-02-07 в 18:22

Благодарю вас!
Помогите справиться еще с этим примером:

7*5^(5x)-5^(x+1)-2*5^(3)

Ответить