Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

София

2016-02-07 в 18:45

3 * 16^x — 2 * 81^x- 5 * 36^x

Ответить
- Инна
  
  2016-02-08 в 10:57
  
  Это однородное уравнение: //ege-ok.ru/2012/01/23/reshenie-pokazatelnyih-uravneniy
  №4
  
  Ответить
София

2016-02-07 в 18:45

3 * 16^x — 2 * 81^x- 5 * 36^x

Ответить
анастасия

2016-04-22 в 04:18

Помогите пожалуйста 4*3^(х+2)-2*5^(х+2)>=5^(х+3)-3^(х+3)

Ответить
- Инна
  
  2016-04-22 в 07:53
  
  Запишем в таком виде:
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
анастасия

2016-04-22 в 04:19

4*3^(х+2)-2*5^(х+2)>=5^(х+3)-3^(х+3)

Ответить
Жанна

2016-05-19 в 19:21

Добрый день! Помогите, пожалуйста, решить неравенство: 5*9^х-18*15^х+9*25*х>0

Ответить
- Инна
  
  2016-05-20 в 08:06
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Это однородное показательное неравенство. Делим обе части на $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Получаем
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Вводим замену: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Решаем квадратное неравенство относительно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Затем возвращаемся к исходной переменной
  
  Ответить
  - Жанна
    
    2016-05-21 в 12:23
    
    Добрый день, Инна Владимировна, я нашла промежутки значений t,
    т.е. (3/5)^х Є(-∞;3/5) U (3; ∞).
    А дальше через график показательной функции или есть другой способ? Если через график, то я тоже не могу сообразить как. Помогите, пожалуйста.
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-05-21 в 14:09
      
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      Так как основание степени меньше 1, меняем знак неравенства:
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      Берем от обеих частей логарифм по основанию 3/5. Основание меньше 1, меняем знак неравенства:
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      Ответ: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      
      Ответить
      - Жанна
        
        2016-05-21 в 17:35
        
        Спасибо, огромное!!!
        
        Ответить
Артём

2016-05-29 в 05:26

Здравствуйте, помогите пожалуйста.

4^((x^2)-x)-10*2^(2x-4)>= 0

Ответить
- Артём
  
  2016-05-29 в 05:26
  
  Здравствуйте, помогите пожалуйста.
  
  4^((x^2)-x)-10*2^(2x+4)>= 0
  
  Ответить
  - Инна
    
    2016-05-29 в 09:05
    
    1. Перенести второе слагаемое вправо
    $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
    2. разделить обе части на $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
    3. прологарифмировать по основанию 4.
    
    Ответить
Рафаэль

2016-09-04 в 18:20

Помогите пожалуйста решить уравнение x-8/2x^2-18-2/x-3=1

Ответить
- Инна
  
  2016-09-05 в 11:08
  
  Расставьте скобки, условие не понятно.
  
  Ответить
  - Рафаэль
    
    2016-09-05 в 14:38
    
    (x-8/2x^2-18)-(2/x-3)=1
    
    Ответить
  - Рафаэль
    
    2016-09-05 в 14:39
    
    (x-8/2x^2-18)-(2/x-3)=1 вот со скобками
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-09-05 в 14:44
      
      раскладываем знаменатель первой дроби на множители
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      Приводим к общему знаменателю.
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ при условии $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      
      Ответить
      - Рафаэль
        
        2016-09-05 в 18:04
        
        Огромное спасибо
        
        Ответить