Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Олег

2012-12-05 в 14:02

Помогите с этим пожалуйста
a в степени крень из логарифма по основанию a числа b меньше либо равно корня из a*b
a>1 и b>1
Очень нужно!!!

Ответить
- Инна
  
  2012-12-05 в 14:27
  
  Среднее арифметическое больше равно среднего геометрического: (a+b)/2 меньше или равно sqrt(ab)
  Возьми от обеих частей неравенства логарифм по основанию а, затем упрости обе части.
  В итоге получишь sqrt(log_a_(b))меньше или равно (1+log_a_(b))/2
  
  Ответить
- Инна
  
  2012-12-05 в 14:41
  
  Опечатка: (a+b)/2 больше или равно sqrt(ab)
  
  Ответить
Анатолий

2012-12-07 в 14:04

Здравствуйте.

пожалуйста помогите.

3 в степени х^2+1=3 в степени -1

Ответить
- Вадим
  
  2012-12-17 в 17:46
  
  Преобразуй уравнение как х^2+1=-1
  Далее получается, что x^2=-2, в этом случае x= + — корень из 2.
  
  Ответить
  - Инна
    
    2012-12-17 в 17:48
    
    Уравнение x^2=-2 не имеет решений: квадрат числа всегда неотрицателен.
    
    Ответить
Вадим

2012-12-17 в 17:39

Помогите пожалуйста решить показательное неравенство: 7^(x^2+x+1)-7^(x^2+x)>=6*79^(x+10)
Знаю, что можно заменить x^2+x на t, но как быть с третьей степенью?

Ответить
- Инна
  
  2012-12-17 в 17:50
  
  7^(x^2+x+1)=7*7(x^2+x), потом упростить левую часть
  
  Ответить
адрей

2012-12-23 в 13:01

Инна , вас , как помощника , нужно возвести в лиг святых ))

Ответить
адрей

2012-12-23 в 13:08

А пример 1 , ответ можно представить в виде : x принадлежит промежутку (- беск;1) v (2;3) v (4; + беск) ?

Ответить
- Инна
  
  2012-12-23 в 16:03
  
  Конечно.
  
  Ответить
Виолетта

2013-01-11 в 17:33

4^x-0.25^x-2=15 а как это решить

Ответить
- Виолетта
  
  2013-01-11 в 17:41
  
  помогите пожалуйста
  
  Ответить
- Инна
  
  2013-01-11 в 20:07
  
  0.25^x=(1/4)^x. введи замену 4^x=t
  
  Ответить
Алёна

2013-01-11 в 19:52

|3^х2-2х -18|<9 помогите разобраться, знаю решение, но там очень сложное, объясните попонятнее пожалуйста, это задание С3)

Ответить
- Инна
  
  2013-01-11 в 20:09
  
  Я не поняла, какое выражение под модулем
  
  Ответить
  - Кристина
    
    2014-12-01 в 10:11
    
    x^2-3x не могу ни как решить помогите
    
    Ответить