Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Фев 2012
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

a^{f(x)} V a^{g(x)}, где  V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция y=a^{f(x)} возрастает при всех действительных значениях x, если a>1.  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

{(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}

Так как основание степеней 0,3<1, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

{x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0

Корни числителя:

x_1=3,   x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  x<1,  2<x<3,  x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

5^{2x}-6*5^x+5<0

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: t=5^x, t>0

Получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }

Отсюда: x>0,  x<1

Ответ: 0<x<1

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение показательных неравенств
| Отзывов (497) | Метки:

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Зара
    в 10:05

    помогите решить систему неравеств
    log 1/х (5/2 * х — 1) >\= -2
    и
    ( (4^x — 12*2^x + 32)(x-1) )/ sqrt x — 1 >\= 0
    Ответить
  2. Зара
    в 10:44

    СПАСИБО ОГРОМНОЕ!
    Ответить
  3. Зара
    в 10:52

    16/3 <=2^x<=1/3
    помогите решить это пожалуйста
    Ответить
    • Инна
      в 10:58

      От всех частей неравенства нужно взять логарифм по основанию 2
      Ответить
  4. Дарья
    в 07:43

    11^3x-1 + 11^3x-2 > 12 помогите пожалуйста
    Ответить
    • Инна
      в 07:46

      11^3x-2(11+1)>12 — выносим за скобку множитель в наименьшей степени
      Ответить
      • Дарья
        в 07:48

        огромное спасибо, а то я запуталась
        Ответить
  5. Дарья
    в 08:03

    При каких значениях Х точки графика фун-ии у=0,4^х+1/х²+4 лежат ниже прямой у=1?
    Ответить
    • Инна
      в 10:37

      0,4^х+1/х²+4<1
      0,4^х+1/х²+4<0,4^0
      Ответить
  6. александр
    в 11:56

    Помогите решить показательное неравенство : 4^(х-1) + 2^(6-2х) <10
    Ответить
    • Инна
      в 12:05

      4^(х-1) + 2^(6-2х) <10
      4^(х-1) + 4^(3-х) <10
      (4^x)/4+(4^3)/(4^x)-10<0
      4^x=t
      Ответить
      • александр
        в 12:46

        Спасибо!
        Ответить
  7. александр
    в 12:45

    Помогите решить показательное неравенство: 15*9^х + 16*15^х — 15*25 >>(больше либо равно) 0
    Ответить
    • Инна
      в 12:53

      Может быть 25^x?
      Ответить
      • александр
        в 12:55

        Да
        Ответить
        • Инна
          в 12:59

          Однородное неравенство. Раздели обе части на 25^x
          Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *