Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Фев 2012
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

a^{f(x)} V a^{g(x)}, где  V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция y=a^{f(x)} возрастает при всех действительных значениях x, если a>1.  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

{(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}

Так как основание степеней 0,3<1, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

{x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0

Корни числителя:

x_1=3,   x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  x<1,  2<x<3,  x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

5^{2x}-6*5^x+5<0

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: t=5^x, t>0

Получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }

Отсюда: x>0,  x<1

Ответ: 0<x<1

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение показательных неравенств
| Отзывов (497) | Метки:

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Артем
    в 17:53

    Помогите, пожалуйста. 3^x>2
    Ответить
    • Инна
      в 08:04

      Возьми от обеих частей неравенства логарифм по основанию 3.
      Ответить
  2. Анна
    в 13:39

    Помогите пожалуйста решить 3*4 в степени x+2*9 в степ.x -5*6 в степ.x <0
    Ответить
    • Инна
      в 15:34

      Однородное неравенство. Раздели обе части на 9^x
      Ответить
      • Зара
        в 06:26

        помогите решить пожалуйста!!!

        В треугольнике АВС, уголА=38 град., уголВ=110 град., уголС=32 град., проведены два отрезка ВД и ВЕ так, что ВД=АД, ВЕ=ЕС. Найти угол ДВЕ.
        Ответить
  3. ирина
    в 02:37

    (x — 7)(x — 4) > 0 решение неравенство?помогите пожалуйста
    Ответить
  4. Юлия
    в 17:04

    помогите решить,пожалуйста :9*7^x — 49*3^x >0
    Ответить
    • Инна
      в 08:38

      перенести 49*3^x вправо, 9=3^2; 49=7^2; разделить обе части на 3^x, получится 7^(x-2)/3^(x-2)>1
      Ответить
  5. Марина
    в 16:02

    Помогите пожалуйста решить неравенство : 2^2x+1-5*6^x+3^2x+1≥0
    Ответить
    • Инна
      в 16:06

      2^2x+1-5*6^x+3*3^2x≥0
      Однородное неравенство — раздели обе части на 3^2x
      Ответить
  6. надежда
    в 14:55

    4^x-2^x+1-8 >0 помогите пожалуйста решить показательное неравенство
    Ответить
    • Инна
      в 07:33

      2^x+1=2*2^x; введи замену: 2^x=t
      Ответить
  7. Лара
    в 17:12

    помогите решить
    2*3^x + 9*4^x больше либо равно 12^x-18
    Ответить
    • Инна
      в 12:48

      12^x=3^x*4^x.
      Перенеси все влево и разложи на множители способом группировки.
      Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *