Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Фев 2012
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

a^{f(x)} V a^{g(x)}, где  V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция y=a^{f(x)} возрастает при всех действительных значениях x, если a>1.  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

{(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}

Так как основание степеней 0,3<1, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

{x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0

Корни числителя:

x_1=3,   x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  x<1,  2<x<3,  x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

5^{2x}-6*5^x+5<0

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: t=5^x, t>0

Получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }

Отсюда: x>0,  x<1

Ответ: 0<x<1

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение показательных неравенств
| Отзывов (497) | Метки:

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Татьяна
    в 18:27

    помогите пожалуйста решить 9^x-2*3^x меньше либо равно 3
    Ответить
    • Инна
      в 07:23

      3^x =t; 9^x=t^2; 3 перенести влево, получим квадратное неравенсто относительно t
      Ответить
  2. Эллина
    в 07:58

    а почему вы в первом примере вы выкалываете точки 3 и 4 они же не обращают знаменатель в ноль?
    Ответить
    • Инна
      в 16:48

      Потому что неравенство строгое — в этом случае все точки выкалываем.
      Ответить
      • Эллина
        в 18:57

        спасибо=)
        Ответить
  3. Юлия
    в 12:55

    Помогите пожалуйста, не понимаю тему про показательные неравенства, т.к. болела и самостоятельно разобраться не могу:( 16<=2^x+1
    0.04^x-26*0.2^x+25<=0
    Ответить
    • Инна
      в 13:22

      0.2^x=t, 0.04^x=t^2. Реши как квадратное неравенство относительно t, а потом вернись к х с учетом того, что основание степени меньше единицы.
      Ответить
  4. Максим
    в 06:54

    Помогите пожалуйста решить уравнение
    12x+6-20+10x>15
    Ответить
    • Инна
      в 07:39

      Не ясно, какие здесь степени
      Ответить
      • Максим
        в 11:20

        их нет,это неравенство
        Ответить
        • Инна
          в 14:12

          Линейное неравенство?
          22х>15+20-6
          x>(15+20-6)/22
          Ответить
          • Максим
            в 16:26

            Да
            Ответить
  5. Мария
    в 17:56

    3*9^х-2*15^х-5^2х > 0
    помогите пожалуйста,очень срочно(
    Ответить
    • Мария
      в 18:00

      ошиблась,там в конце 5^2х+1
      Ответить
    • Инна
      в 18:06

      1. 5^2х+1=5* 5^2х; 9^х=3^2x; 15^х=5^x*3^x
      однородное неравенство: раздели все на 5^2х и введи замену
      Ответить
  6. Мария
    в 18:39

    можно по подробней пожалуйста
    а то я тут запуталась
    что мне надо разделить на 5 в степени 2х?
    Ответить
  7. Дмитрий
    в 19:28

    помогите, пожалуйста! не можем решить 4^х-2^х<12. заранее благодарны.
    Ответить
    • Инна
      в 20:39

      2^х=t, t>0 ; 4^х=t^2; t^2-t-12<0;
      Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *