Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Яна

2013-04-05 в 15:41

Здравствуйте, помогите пожалуйста с решением неравенства :
284^(x^2+sinx)>0

Ответить
- Инна
  
  2013-04-05 в 15:50
  
  Если 284 в степени (x^2+sinx), то х- любое число, т.к. показательная функция принимает только положительные значения, и показатель не имеет ограничений на ОДЗ
  
  Ответить
  - Яна
    
    2013-04-05 в 16:01
    
    Спасибо большое!
    
    Ответить
    - Яна
      
      2013-04-05 в 16:24
      
      Скажите ,а как решить это неравенство (x^2+5x+(√x)+17)>0?
      
      Ответить
      - Инна
        
        2013-04-05 в 16:35
        
        По ОДЗ х больше или равен 0. При этих значениях х левая часть больше 0. Ответ: x>=0
        
        Ответить
Мария

2013-04-09 в 13:36

|х^2 -3|х| -4|=а при каком наибольшем значении а уравнение имеет только четыре корня?
помогите пожалуйста с решением.заранее благодарна

Ответить
- Инна
  
  2013-04-09 в 13:44
  
  Нужно построить график функции y=|х^2 -3|х| -4|
  1. Строим график y= х^2 -3х-4
  2. Делаем преобразование графика f(x)->f(|x|)
  3. Делаем преобразование графика f(x)->|f(x)|
  4. Смотрим при каких а функция у=а имеет с графиком функции 4 точки пересечения. Преобразования графиков можно посмотреть здесь:
  //ege-ok.ru/2012/04/06/preobrazovanie-grafikov-funktsiy/
  
  Ответить
  - Мария
    
    2013-04-09 в 15:51
    
    я в параболе должна буду убрать часть с отрицательной стороны?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-04-09 в 15:59
      
      При преобразовании f(x)->f(|x|) — да, и то что справа от ОУ достроить симметрично влево
      
      Ответить
Митрий

2013-04-10 в 04:02

Пожалуйста хотя бы ход мысли дайте:
4^(x+1)-6^x >= 2*3^(2x+2)

Ответить
- Инна
  
  2013-04-10 в 05:22
  
  Однородное неравенство.
  1. перенести все влево
  2. 3^(2x+2)=3^2x*3^2; 6^x =3^x*2^x;
  4^(x+1)=4*4^x
  3.Разделить все на 3^2x
  
  Ответить
  - Митрий
    
    2013-04-10 в 07:20
    
    благодарю Вас!
    
    Ответить
Alex

2013-04-11 в 22:02

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить. Все перечитал, но подобного не встретил

2^(2x-1) < 3^(3x-2)

Спасибо большое заранее!

Ответить
- Инна
  
  2013-04-12 в 06:34
  
  Берем от обеих часте неравенства логарифм по основанию, например, 2 (можно 3), степени выносим за знак логарифма и получаем линейное неравенство относительно х
  
  Ответить
Анна

2013-04-16 в 17:33

Спасибо большое.Я повторила немного забытый материал.Всё изложено в простой ,понятной форме.Спасибо Вам,за Ваш труд.

Ответить
Ольга

2013-04-26 в 07:41

Помогите пожалуйста решить : 7^x-2 <(либо равно) 3^2-x

Ответить
- Инна
  
  2013-04-26 в 07:56
  
  3^2-x=(1/3)^x-2
  раздели обе части на (1/3)^x-2, получим 21^(x-2)<=1
  
  Ответить
Татьяна

2013-05-25 в 07:43

помогите решить неравенство: х в квадрате минус 9 больше 0

Ответить