Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Фев 2012
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

a^{f(x)} V a^{g(x)}, где  V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция y=a^{f(x)} возрастает при всех действительных значениях x, если a>1.  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

{(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}

Так как основание степеней 0,3<1, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

{x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0

Корни числителя:

x_1=3,   x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  x<1,  2<x<3,  x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

5^{2x}-6*5^x+5<0

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: t=5^x, t>0

Получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }

Отсюда: x>0,  x<1

Ответ: 0<x<1

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение показательных неравенств
| Отзывов (497) | Метки:

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Андрей
    в 08:11

    2^(x^2)<(3/2)^x
    Ответить
  2. Оля
    в 10:35

    Решите пожалуйста log 1/2 (5 — х)< 2
    Ответить
    • Юрий
      в 14:24

      5-x больше (1/2)^2, так как основание 1/2 меньше 1.
      Ответить
  3. Юлия
    в 22:14

    Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, никак не могу сообразить. 3^(x+2)+3^x>=810
    Ответить
    • Инна
      в 04:41

      3^(x+2)=3^x*3^2; 3^x=t
      Ответить
      • Юлия
        в 08:55

        Спасибо
        Ответить
  4. Юлия
    в 09:05

    Подскажите, пожалуйста, верно ли решение:
    log4(3x-6)-log4(2x+8)>=0
    log4(3x-6)>=log4(2x+8)
    3x-6>=2x+8
    3x-6-2x-8>=0
    x-14>=0
    x>=14
    Ответить
    • Инна
      в 09:14

      Надо добавить 2x+8 больше 0 (ОДЗ) — в этом случае на ответ не влияет, но об ОДЗ надо помнить
      Ответить
      • Юлия
        в 10:18

        Спасибо Вам большое.
        Ответить
  5. Светлана
    в 00:14

    корень 7(7 в 4 степени) (2 в 9 степени) умножить корень 7 (7 в 3 степени) (2 в 5 степени))
    Ответить
    • Инна
      в 17:16

      Представь корень в виде степени
      Ответить
  6. Катя
    в 10:15

    1/2^корень из х+2>1/2 Решить неравенство помогите
    Ответить
    • Инна
      в 10:29

      Переходим к показателям: корень из х+2<1
      Ответить
      • Катя
        в 14:35

        и это все??? так все просто???а я то мудрю пытаюсь оба основания в степень еще возводить
        Ответить
      • Катя
        в 14:35

        спасибо
        Ответить
      • Катя
        в 14:37

        ой а почему <1 ??
        Ответить
  7. оля
    в 11:54

    (
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *