Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Алексей

2013-09-10 в 21:03

Доброго дня Инна! в свои тридцать решил пойти на второе высшее, в институте мне дали задания, одно из них содержит показательное неравенство (2/3)^(3X+9)<8/27 собственно говоря все необходимые преобразования я провел с данным неравенством (не скажу, что это было уж легко, школьный курс почти выбило из памяти, мне проще с тов. Фурье работать :-))) ), в итоге получил следующее: (8/27)^X-2; теперь собственно горе от ума, хоть убейте, но не могу вспомнить решение данного неравенства у нас будет иметь вид (-бескон.;-2) или (-2;+бескон.). желательно этот небольшой аспектик объяснить мне тупому, а то в голове уже каша. С огромным к Вам уважением Алексей.

Ответить
- Инна
  
  2013-09-11 в 04:49
  
  Я бы наоборот, разложила все основания на простые множители и привела неравенство к виду (2/3)^(3X+9)< (2/3)^3.Теперь сравниваем показатели. Так как основание меньше 1, меняем знак неравенства на противоположный: 3x+9>3. поэтому (-2;+бескон.)
  
  Ответить
  - Алексей
    
    2013-09-11 в 07:29
    
    спасибо Вам большое Инна! почему-то всегда меня тянет по сложному пути )) ответ у меня тоже получился (-2;+бескон.), но каша в голове с моими сложностями не дала нормально его воспринять. Вы все сделали проще и понятнее, теперь все стало на свои места. С уважением Алексей!
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-09-11 в 09:35
      
      «Во многия мудрости многия печали» )
      
      Ответить
  - Серёжа
    
    2014-10-26 в 09:39
    
    Здраствуйте Инна можите помочь!
    У нас завтро зачет по алгебре!
    F(x)=x (в кубе)+4x-7
    F(x)=2x в кубе +3x(в квадрате) -12x
    F(x)=5 (в квадрате )x -3x-8
    y=3x(в квадрате) -x-2
    
    Ответить
Дарья

2013-10-12 в 12:34

помогите, пожалуйста, решить неравенство:2^x+3*2^-x <=4

Ответить
- Инна
  
  2013-10-12 в 12:48
  
  2^x=t, тогда 2^(-x)=1/t
  Решить неравенство относительно t, потом вернуться к исходной переменной.
  
  Ответить
Людмила

2013-11-11 в 16:57

помогите пожалуйста решить
исследовать функцию у=х/(х^2+1) и построить ее график

Ответить
- Инна
  
  2013-11-12 в 12:03
  
  Людмила, сейчас пишу статью, как строить график с помощью производной.
  
  Ответить
Валя

2013-11-15 в 07:16

помогите пожалуйста.: log по осн.11 (3x-1)>0

Ответить
- Инна
  
  2013-11-15 в 08:50
  
  0=log по осн.11(1)
  (3x-1)>1
  
  Ответить
sensei

2013-11-17 в 13:46

В ответе к первому неравенству есть опечатка, второй промежуток не 2<x<2,а 2<x<3

Ответить
- Инна
  
  2013-11-17 в 14:53
  
  Спасибо.
  
  Ответить
Аделя

2013-11-18 в 15:32

к примеру неравенство- 9х-3х-6>0
нужно найти целые решения неравенства на отрезке (-3; 3)

я понимаю,что нужно сделать замену
беру 3х=t => t^2-t-6>0
а дальше не понимаю,что делать
помогите,пожалуйста

Ответить
- Инна
  
  2013-11-18 в 15:53
  
  Дальше решаем квадратное неравенство относительно t. (Помним, что t>0) Получаем t2 и t>0 => t>2
  3^x>2, x=1; x=2
  
  Ответить
максим

2013-11-24 в 08:42

0,8 в степени два икс минус икс в квадрате больше или равно одному

Ответить
- Инна
  
  2013-11-24 в 15:54
  
  0,8 в степени два икс минус икс в квадрате больше или равно 0,8 в степени 0.
  два икс минус икс в квадрате меньше или равно 0 ( основание меньше 1, знак неравенства меняем на противоположный.)
  
  Ответить