Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Max

2013-12-05 в 19:10

Здравствуйте. Подскажите ход решения
показат. уравн.

(x-5)^(x-6)^(x-7)^(x+7)^(x+6)=9, т.е (x-5) основание в степени (x-6) в степени (x-7) в степени (x+7) в (x+6)

Ответить
- Инна
  
  2013-12-06 в 15:32
  
  ОДЗ левой части x>7 (основание степени должно быть >0). При x>7 левая часть возрастающая функция (основание х-5>1), тогда уравнение имеет единственный корень.(Слева возрастающая функция, справа константа) Найдем его подбором. Справа 9=3^2. Попробуем х=8. Подходит.
  
  Ответить
игорь

2013-12-08 в 14:30

здравствуйте помогите решить

3 в степени (2х-1) минус 3 в степени (2х-3) больше 8/3

Ответить
- Инна
  
  2013-12-08 в 14:53
  
  Нужно вынести за скобку 3 в степени (2х-3):
  3 ^(2х-3) (3^2-1)>8/3;
  3 ^(2х-3)*8>8/3;
  3 ^(2х-3)>1/3;
  3 ^(2х-3)>3^(-1);
  (2х-3)>-1
  
  Ответить
  - игорь
    
    2013-12-08 в 16:44
    
    спасибо огромное вам
    
    Ответить
Мария

2013-12-09 в 08:56

помогите пожалуйста 5в степени х-1<√5

Ответить
- Инна
  
  2013-12-09 в 09:05
  
  √5=5^(1/2)
  Получим 5^(x-1)<5^(1/2)
  основание больше 1, следовательно x-1<1/2
  
  Ответить
дмитрий

2013-12-09 в 13:50

1

Ответить
дмитрий

2013-12-09 в 13:52

помогите решить пожалуйста такое вот неравенство
3^2|X-1|+3/4<3^|x-1|

Ответить
- Инна
  
  2013-12-09 в 14:04
  
  3^|x-1|=t;
  3^2|x-1|=t^2
  получаем квадратное неравенство: t^2-t+3/4<0
  
  Ответить
  - дмитрий
    
    2013-12-09 в 14:21
    
    а модули потом как раскрывать?
    
    Ответить
    - дмитрий
      
      2013-12-09 в 14:24
      
      x^2*3^X-3^X+1<=0 и вот как вот здесь начать решение?
      
      Ответить
      - Инна
        
        2013-12-09 в 14:31
        
        Ты ничего не пропустил?
        
        Ответить
      - дмитрий
        
        2013-12-09 в 14:41
        
        нет
        
        Ответить
      - Инна
        
        2013-12-09 в 15:25
        
        Если нет еще слагаемых, то решение получается с логарифмами.
        
        Ответить
    - Инна
      
      2013-12-09 в 14:25
      
      //ege-ok.ru/2012/09/02/modul-reshenie-uravneniy-i-neravenstv-s-modulem-soderzhanie-videolektsii-1/
      
      Ответить
      - дмитрий
        
        2013-12-09 в 14:28
        
        спс
        
        Ответить
гриша

2013-12-09 в 17:31

помогите решить систему
система: корень x-1 степени из 49 =корню степени y-1 из 343
и второе уравнение 3^=9^2X-Y

Ответить
- Инна
  
  2013-12-09 в 17:37
  
  3^ — это какая степень?
  
  Ответить
  - гриша
    
    2013-12-09 в 17:38
    
    y
    
    Ответить
    - гриша
      
      2013-12-09 в 18:04
      
      (X^2+x+1)^x+5/x+2>=(X^2+X+1)^3
      
      Ответить
      - Инна
        
        2013-12-10 в 12:01
        
        x+5/x+2 — показатель степени?
        
        Ответить
    - Инна
      
      2013-12-10 в 11:51
      
      Из второго уравнения получаем y=4x-2y
      Из первого (49=7^2; 343=7^3) получаем
      2/(x-1)=3/(y-1)
      Решаем систему.
      
      Ответить
  - гриша
    
    2013-12-09 в 18:40
    
    ну что там у вас что то получилось
    ?
    
    Ответить
Ирина.

2013-12-18 в 15:04

Здравствуйте, не поможете с этим?
(2\3) ^( 5х^2 -29)=(3\2)^(x^2+5)

Ответить
- Инна
  
  2013-12-18 в 15:09
  
  (2\3) ^( 5х^2 -29)=(2\3)^(-x^2-5)
  теперь приравниваем показатели
  
  Ответить
  - Ирина.
    
    2013-12-18 в 15:49
    
    Т.е 6^(5x-29)=9^(x^2+5) Или я опять ошибаюсь?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-12-18 в 15:59
      
      Нет. ( 5х^2 -29)=(-x^2-5)
      
      Ответить
      - Ирина.
        
        2013-12-18 в 16:05
        
        А почему здесь—(-x^2-5) знаки поменялись? объясните если не сложно.
        
        Ответить
      - Инна
        
        2013-12-18 в 17:46
        
        Дальше решаем это квадратное уравнение
        
        Ответить
    - Инна
      
      2013-12-18 в 16:25
      
      Мы перевернули основание: (2/3)=(3/2)^(-1)
      
      Ответить
      - Ирина.
        
        2013-12-18 в 16:27
        
        А все понятно…блин так не удобно, но все же что дальше делаем?
        
        Ответить