Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Фев 2012
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

a^{f(x)} V a^{g(x)}, где  V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция y=a^{f(x)} возрастает при всех действительных значениях x, если a>1.  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

{(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}

Так как основание степеней 0,3<1, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

{x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0

Корни числителя:

x_1=3,   x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  x<1,  2<x<3,  x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

5^{2x}-6*5^x+5<0

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: t=5^x, t>0

Получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }

Отсюда: x>0,  x<1

Ответ: 0<x<1

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение показательных неравенств
| Отзывов (497) | Метки:

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Екатерина
    в 19:41

    Можете пожалуйста помочь.
    0,4^(x-2) ,больше или равно 125/8
    9^(x-1)+3^(x+2)=90
    (2cosx+1)(tgx-4)=0
    Ответить
    • Инна
      в 11:16

      0,4^(x-2) больше или равно 125/8
      (2/5)^(x-2)>=(2/5)^(-3) т.к. 2/5<1
      x-2<=-3

      9^(x-1)+3^(x+2)=90
      3^(2x-2)+3^(x+2)=90
      (3^2x)/9+3^x*9=90; 3^x=t; (3^2x)=t^2

      (2cosx+1)(tgx-4)=0
      cosx=-1/2 или tgx=4
      Ответить
  2. Николай
    в 09:59

    помогите пожалуйста решить неравенство x*2^x<8
    Ответить
    • Николай
      в 18:43

      Спасибо большое.
      Ответить
    • Инна
      в 20:22

      графически: 2^x меньше 8/x, если x больше 0
      и 2^x больше 8/x, если x меньше 0
      Строим графики y=2^x и y=8/x и смотрим, где первый лежит ниже второго при x больше 0
      и наоборот если x меньше 0
      x<2
      Ответить
  3. Ксения
    в 15:10

    огого)мне бы ещё некоторое понять:(
    Ответить
  4. Анжелика
    в 17:29

    Здравствуйте.Вы бы не могли мне помочь с алгеброй.Примеров ровно 27
    Ответить
  5. София
    в 13:45

    Доброго времени суток! У меня такое неравенство: 147*7^(x-2)-3*7^(2-x)< 0. Что то все цифры делятся друг на друга, а решить не могу.
    Ответить
    • Инна
      в 14:24

      Ввести замену:
      t=7^(x-2); 7^(2-x)=7^(-(x-2))=1/t
      Ответить
  6. Виктория
    в 15:48

    Помогите пожалуйста решить
    4^(x-1) + 2^(x-2) — 3/2 >= 0 (больше или равно)
    Ответить
    • Инна
      в 15:54

      4^(x-1)=(4^x)/4; 2^(x-2)=(2^x)/4;
      вводим замену: 2^x=t
      Ответить
  7. татьяна
    в 02:23

    Подскажите пожалуйста неравенство со степенями
    3^(х-2)+4*3^(х-1)<=21
    Ответить
    • Инна
      в 08:00

      Посмотрите ответ Виктории.
      Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *