Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Фев 2012
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

a^{f(x)} V a^{g(x)}, где  V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить  показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция y=a^{f(x)} возрастает при всех действительных значениях x, если a>1.  Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1,  и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из  неравенства

a^{f(x)}>a^{g(x)} следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

{(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}

Так как основание степеней 0,3<1, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

{x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0

Корни числителя:

x_1=3,   x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ:  x<1,  2<x<3,  x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

5^{2x}-6*5^x+5<0

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать  относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню  на этом примере.

Введем замену: t=5^x, t>0

Получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }

Отсюда: x>0,  x<1

Ответ: 0<x<1

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение показательных неравенств
| Отзывов (497) | Метки:

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Анна
    в 13:42

    Помогите решить пример 2 в степени x+1 — 2 в степени x-1 = 3 в степени 2-x.
    Ответить
    • Инна
      в 13:57

      В левой части вынесем множитель в наименьшей степени
      2^(x+1)-2^(x-1)=2^(x-1)*(2^2-1)=2^(x-1)*3
      2^(x-1)*3=3^(2-x)
      Разделим обе части на 3
      2^(x-1)=3^(1-x)
      х=1
      Ответить
  2. артем
    в 07:02

    помогите решить показательнное неравенство 12 в степени 2х+4 равен и больше 1/144
    Ответить
    • Инна
      в 07:05

      1/144=12^(-2)
      12 больше 1, следовательно, 2х+4 больше или равно -2
      Ответить
  3. Галина
    в 09:06

    Здравствуйте))))
    У меня с этим беда — решаю методом подстановки, теряю корни… где ошибка — не пойму… (544-4^(-x))/(32-2^(-x))>=17
    Ответить
    • Инна
      в 09:34

      У меня получилось 2^(-x) меньше или равно 17 или 2^(-x) больше 32
      Ответить
      • Галина
        в 09:54

        Спасибо! Значит из решения выбрасываем полуинтервал (-5;-log2(17)]
        Ответить
        • Инна
          в 10:16

          Что значит выбрасываем?
          У меня получилось x больше или равен -log2(17) или х меньше -5
          Ответить
          • Галина
            в 11:37

            Да, да, значит от минус беск до -5 и от вкл -log2(17)до беск-ти — это решение))) спасибо!!!!!!!!!!
            Ответить
  4. Людмила
    в 06:47

    Здравствуйте)У меня не получается решить неравенство,не знаю как можно ввести замену,помогите пожалуйста!
    5*3^2х+15*5^(2х-1)>=8*15^х
    Спасибо
    Ответить
    • Инна
      в 08:58

      5^(2х-1)=(5^2x)/5
      15^х=5^x*3^x
      Однородное уравнение
      5^x=a; 3^x=b
      Ответить
  5. karina
    в 14:29

    помогите решить 9^x-1-3^2x-4=72
    Ответить
    • Инна
      в 12:05

      3^(2x-4)=3^2x/3^4
      9^(x-1)=3^(2x-2)=3^2x/3^2;
      Вводим замену 3^2x=t
      Ответить
  6. Антон
    в 12:22

    А как решить вот такое
    x >= Log3(84) ?
    Исходное было 3^x >= 84
    Ответить
    • Инна
      в 12:32

      x >= Log3(84) — это ответ.
      Ответить
  7. рома
    в 03:37

    5^2x-1-5^2x-3=4.8
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *