Решение показательных неравенств.
В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:
V 
, где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.
Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.
Как мы помним, показательная функция 
возрастает при всех действительных значениях 
, если 
. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства
следует неравенство 
Аналогично, так как показательная функция убывает, если 
, и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства
следует неравенство 
То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.
Ещё раз, это важно:
если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется
если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.
Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Решим неравенство:
Так как основание степеней 
, при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:
Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:
Корни числителя:
, 
Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:
Ответ: 
, 
, 
2. Решим неравенство:
Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:
Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.
Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.
Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.
Введем замену: 
, 
Получим систему неравенств:
Отсюда:
То есть 
Запишем двойное неравенство в виде системы:
Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:
Отсюда: 
,
Ответ: 
Помогите пожалуйста решить 9x в степени + 3 x в степени =272
16 x -4*4x+3=0
Не понятно, какое уравнение
1) 3^x=t; 9^x=t^2 — вводим замену, решаем квадратное уравнение
2) аналогично 4^x=t; 16^x=t^2
Спасибо
Первое и второе
0.4^(x^2-x-20)>1
0.4^(x^2-x-20)>0,4^0
x^2-x-20 меньше 0 ( так как 0,4 меньше 1)
(1\3) в степени 4-2х=9
9=(1/3)^(-2)
4-2х=-2
как решить 3*4^x+16*4^-x<19
у меня поселе замены получается t=0
а оно должно быть больше 0
Если t=4^x, то получаем неравенство 3t+16/t-19<0. Здесь получаются корни не равные 0
помогите решить 4^x+4^(x+1)>5^x
4^x(1+4)>5^x
(5/4)^x<5
x<log_(5/4)5
Помогите ,пожалуйста,решить
7^2х *3*7^x > 10
там точно знак умножить между х и 3?
7^x=t; 7^2x=t^2 t>0
Решаем квадратное неравенство относительно t.
Большое спасибо 😉