Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Евгений

2014-03-30 в 01:21

Здравствуйте! Помогите , пожалуйста, решить два неравенства :
1) (1/2)^x + (1/2)^x-2 >5
2) 3^|x|+2 < 27

Заранее, благодарен .

Ответить
- Инна
  
  2014-03-30 в 08:07
  
  1) Вынести за скобку (1/2)^x-2
  2) 3^|x|+2 < 3^3;
  |x|+2<3;
  |x|<1
  
  Ответить
Соня

2014-04-05 в 18:36

Помогите решить! (1/4)^x — 9*((1/2)^x)>= -8. Заранее спасибо.

Ответить
- Инна
  
  2014-04-06 в 08:00
  
  (1/2)^x=t
  (1/4)^x=t^2
  Решить как квадратное относительно t
  
  Ответить
  - Людмила
    
    2014-05-16 в 13:29
    
    Инна,пожалуйста, помогите решить такое неравенство 9^(x-3)+9^(x-2)+9^(x-1)>511
    
    Ответить
    - Инна
      
      2014-05-16 в 13:33
      
      Выносим за скобку множитель в наименьшей степени, получаем
      9^(x-3)(1+9+9^2)>511
      Затем делим обе части на 1+9+9^2.
      
      Ответить
marinaxxx

2014-05-16 в 13:47

помогите пожалуйста решить уравнение: 2^x +2^1-x -3 меньше или равно 0.

Ответить
- Инна
  
  2014-05-16 в 13:52
  
  2^1-x=2/(2^x)
  2^x=t, t>0
  t+2/t-3 меньше или равно 0.
  
  Ответить
marinaxxx

2014-05-16 в 14:06

Спасибо большое 🙂

Ответить
Анна

2014-06-08 в 20:43

Помогите пожалуйста решить, ответ знаю но не понимаю как распивать точно, хочу понять ход решения (0,25^(1/4))^-2

Ответить
- Инна
  
  2014-06-10 в 07:53
  
  (0,25^(1/4))^-2 =(1/4)^(1/4*(-2))=(1/4)^(-1/2)=4^(1/2)=2
  
  Ответить
Aiman

2014-08-19 в 15:56

(1\4)^4x+3=8^2-x можете решать? я уже решила но кажется ответ не правильный или что то еще помогите пожалуйста?

Ответить
- Инна
  
  2014-08-19 в 16:08
  
  Для начала проверь свой ответ, для этого нужно подставить найденное значение х в уравнение. Если ответ неправильный, то подскажу.
  
  Ответить
  - Aiman
    
    2014-08-20 в 03:31
    
    Я поставила свой ответ но кажется тот ответ неправильный и поставила вторую,в тесте указано что этот ответ правильный но он тоже кажется неправильный помогите пожалуйста
    
    Ответить
Валя

2014-09-09 в 12:24

│х-1│< 7 решить неравенство.

Ответить
- Валя
  
  2014-09-09 в 13:05
  
  х-1>-7
  x-1-6
  x<8
  Ответ -6<x<8
  
  Ответить