Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
04 Окт 2012
03 Задание (2022)ПЛАНИМЕТРИЯ

Косинус угла между прямыми по клеточкам.

Натолкнулась в Открытом банке заданий по математике на задачу, которую в прошлом году не встречала:

Задание B7 (№ 27458)  из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на 2sqrt{2}:

Давайте сделаем дополнительное построение:

 

Величина угла АОВ равна сумме углов alpha и beta:

Примем размер клетки равным 1, и  найдем длину ОВ из треугольника ОВС и длину АО из треугольника АОС:

OB=sqrt{1+2^2}=sqrt{5}

AO=sqrt{1+3^2}=sqrt{10}:

 

По формуле для косинуса суммы имеем:

cos({alpha}+{beta})=cos{alpha}cos{beta}-sin{alpha}sin{beta}

Вспомним соотношения для сторон и углов в прямоугольном треугольнике:

косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;

синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Тогда из треугольника ВОС:

cos{alpha}=1/{sqrt{5}}

sin{alpha}=2/{sqrt{5}}

Из треугольника АОС:

cos{beta}=1/{sqrt{10}}

sin{beta}=3/{sqrt{10}}

Подставим эти значения в формулу для косинуса суммы:

cosAOB={1/{sqrt{5}}}{1/{sqrt{10}}}-{2/{sqrt{5}}}{3/{sqrt{10}}}=-5/{sqrt{50}}=-5/{5sqrt{2}}=-1/{sqrt{2}}

В ответе запишем значение косинуса, умноженное на 2sqrt{2}:

(-1/{sqrt{2}})(2sqrt{2})=-2

Ответ: -2

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Косинус угла между прямыми по клеточкам.
| Отзывов (7)

Отзывов (7)

  1. ella
    в 12:06

    Здорово!!! для меня это ново!!! Спасибо за замечательное решение! Конечно, можно было использовать теорему косинусов!?
    Ответить
    • Инна
      в 12:24

      Можно было. Но мне что-то теорема косинусов в голову не пришла 🙂
      Ответить
  2. anna
    в 19:15

    а зачем в конце на ,,2 корень из 2,, умножать?
    Ответить
    • Инна
      в 06:09

      Прежде чем записать ответ, еще раз внимательно читаем вопрос задачи — очень полезно правило. Перечитайте условие.
      Ответить
      • Станислав
        в 13:40

        Правильно Инна, я своим ученикам также говорю, перечитывайте внимательно задание и правильно делайте построение и это обеспечит правильное решение в геометрии на 95%! Skype:mexanikm
        Ответить
  3. Никита
    в 14:24

    Похожее задание придумал себе 5 часов назад , абсурд в том что я случайно натолкнулся на эту статью .
    Ответить
    • Инна
      в 15:34

      Случайностей не бывает)
      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *