Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2013-04-04

Главная » СТАТЬИ » 13 Задание (2022) (C2) » Векторы и координаты. Базовые задачи. Задание В3 (2013)

04 Апр 2013

13 Задание (2022) (C2)Задание 03 (2016)ПЛАНИМЕТРИЯ

Векторы и координаты. Базовые задачи. Задание В3 (2013)

Векторы и координаты. Базовые задачи.

Эта статья является продолжением статьи "Векторы. Действия с векторами", и в ней мы рассмотрим базовые задачи на векторы и координаты:

Как находить координаты вектора по координатам его начала и конца
Как находить длину вектора, если известны его координаты
Как находить координаты вектора суммы и вектора разности двух векторов
Как находить координаты середины отрезка
Что такое скалярное произведение векторов
Как находить угол между векторами

Действия с векторами и координатами в пространстве совершаются абсолютно по тем же правилам,

что и с векторами на плоскости. Только добавляется третья координата. Поэтому информацию, которая содержится в этой статье можно с успехом применять при решении задач на нахождение расстояний и углов в пространстве из Задания С2 ЕГЭ по математике.

Сначала несколько слов о том, что такое координаты вектора.

Рассмотрим координатную плоскость и в ней единичные векторы i и j, которые сонаправлены осям координат, и длина которых равна единичному отрезку:

Эти векторы называются базисными. Тогда любой вектор мы можем представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

Мы видим, что vec{a}=2i+3j

vec{b}=2i-3j

vec{c}=-4i+3j

vec{d}=-4i+3j

Для произвольного вектора vec{n}=x{i}+y{j} числа и в разложении вектора vec{n} по базисным векторам называются координатами вектора.

vec{n}(x;y)

Координаты векторов на рисунке выше:

vec{a}(2;3)

vec{b}(2;-3)

vec{c}(-4;3)

vec{d}(-4;3)

Внимание! При записи координат вектора мы всегда на первом месте пишем коэффициент при i, а на втором месте коэффициент при j.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Два равных вектора имеют одинаковые координаты. Мы видим, что vec{c}=vec{d}

Если начало вектора совпадает с началом координат, то координаты вектора совпадают с координатами его конца:

vec{a}(2;3) и A(2;3)

Если вектор {vec{AB}} задан координатами его начала A(x_A;y_A) и конца B(x_B;y_B) , то чтобы найти его координаты, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала:

${vec{AB}}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$

Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны:

Противоположные векторы имеют противоположные координаты:

{vec{AB}}(x;y) {vec{BA}}({-x};{-y})

При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число:

Если {vec{a}}(x;y) , то k{vec{a}}=(kx;ky)

Если число k>0, то векторы vec{a} и k{vec{a}} сонаправлены.

Если число k<0, то векторы vec{a} и k{vec{a}} направлены в противоположные стороны.

Вектора, которые лежат на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Если вектора ${vec{a}}(x_1;y_1)$ и ${vec{b}}(x_2;y_2)$ коллинеарны, то их координаты пропорциональны:

${x_1}/{x_2}={y_1}/{y_2}$

При вычитании векторов их координаты вычитаются:

Если ${vec{a}}(x_1;y_1)$ , ${vec{b}}(x_2;y_2)$ и {vec{c}}=vec{a}-vec{b} , то $vec{c}(x_1-x_2;y_1-y_2)$

При сложении векторов их координаты складываются:

Если ${vec{a}}(x_1;y_1)$ , ${vec{b}}(x_2;y_2)$ , и {vec{c}}=vec{a}+vec{b} , то ${vec{c}}(x_1+x_2;y_1+y_2)$

Пример. vec{a}(1;-2) , vec{b}(-3;-5) . Найдите координаты вектора vec{a}= 2{vec{a}}-{1/2}{vec{b}}

2{vec{a}}=(2(1); 2(-2))=(2;-4) ;

{1/2}vec{b}=({1/2}(-3);{1/2}(-5))=({-3/2};{-5/2})

vec{c}=2{vec{a}}-{1/2}{vec{b}}=(2-(-3/2);-4-(-5/2))=(3,5;-1,5)

Длина вектора vec{n}(x;y) вычисляется по формуле: $delim{|}{vec{n}}{|}=sqrt{x^2+y^2}$

Если вектор {vec{AB}} задан координатами его начала A(x_A;y_A) и конца B(x_B;y_B) , то его длина вычисляется по формуле:

$delim{|}{vec{AB}}{|}=sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

С помощью этой же формулы находится длина отрезка , или расстояние между точками и .

Если точка является серединой отрезка , то ее координаты вычисляются по формуле: $M=({x_A+x_B}/2;{y_A+y_B}/2)$

Скалярным произведением векторов a(x_1;y_1) и b(x_2;y_2) называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

(vec{a}vec{b})={delim{|}{vec{a}}{|}}{delim{|}{vec{b}}{|}}cos{alpha}

Скалярное произведение векторов a(x_1;y_1) и b(x_2;y_2) равно сумме произведений одноименных координат.

$(vec{a}vec{b})=x_1x_2+y_1y_2$

Если мы приравняем правые части выражений для скалярного произведения, мы получим формулу для нахождения косинуса угла alpha между векторами a(x_1;y_1) и b(x_2;y_2) :