Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
27 Май 2013
12 Задание (2022) (C1)

Тригонометрические уравнения с засадой. Задание С1

В этой статье мы разберем две задачи из Задания С1   для  подготовки к ЕГЭ  по математике.

Я хочу рассказать вам о двух своих ошибках, которые я сделала при решении несложных тригонометрических уравнений. Ошибки весьма поучительны.

Первое задание:

а)  Решите уравнение: tg(x+{pi}/4)+1=2(sqrt{2}+1)ctgx

б) Найдите все корни на промежутке  [{pi}/4;{7{pi}}/4]

При решении уравнения я попыталась представить тангенс суммы двух углов по формуле

tg({alpha} + {beta})={tg{alpha} + tg{beta}}/{1  -  tg{alpha}tg{beta}}

То есть у меня получилось:

tg({x} + {{pi}/4})={tg{x} + tg{{pi}/4}}/{1  -  tg{x}tg{{pi}/4}}

И - внимание! - я потеряла корень. Смотрите внимательно: после этого преобразования я получила отдельно стоящий tg{x}. Но tg{x} не определен при x={pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}. А в исходном уравнении x вполне мог быть равен {pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}.

То есть выполняя это невинное преобразование, я сузила ОДЗ. Но узнала я об этом, только когда посмотрела  ответ. Но на ЕГЭ ответов нет, поэтому выполняя преобразование нужно следить за тем, что происходит с областью допустимых значений.

Итак, мы идем другим путем.

Запишем tg   и ctg через sin и cos:

{sin({x} + {{pi}/4})}/{cos({x} + {{pi}/4})}+1={2(sqrt{2}+1)cosx}/{sinx}

Используем формулы синуса и косинуса суммы:

{sinxcos{{pi}/4}+cosxsin{{pi}/4}}/{cosxcos{{pi}/4}-sinxsin{{pi}/4}}+1={2(sqrt{2}+1)cosx}/{sinx}

{sinx{sqrt{2}}/2+cosx{sqrt{2}}/2}/{cosx{sqrt{2}}/2-sinx{sqrt{2}}/2}+1={2(sqrt{2}+1)cosx}/{sinx}

Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения на {sqrt{2}}/2:

{sinx+cosx}/{cosx-sinx}+1={2(sqrt{2}+1)cosx}/{sinx}

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

{sinx+cosx+cosx-sinx}/{cosx-sinx}={2(sqrt{2}+1)cosx}/{sinx}

{2cosx}/{cosx-sinx}={2(sqrt{2}+1)cosx}/{sinx}

Перенесем все влево:

{2cosx}/{cosx-sinx}-{2(sqrt{2}+1)cosx}/{sinx}=0

Вынесем за скобку общий множитель:

{2cosx}(1/{cosx-sinx}-{sqrt{2}+1}/{sinx})=0

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

{2cosx}({sinx-(sqrt{2}+1)(cosx-sinx)}/{{sinx}({cosx-sinx})})=0

Знаменатель дроби не равен нулю, то есть

cosx-sinx<>0 и sinx<>0

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю:

cosx=0 или sinx-{(sqrt{2}+1)}{(cosx-sinx)}=0

1. cosx=0

x={pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ} - вот он, потерянный корень!

2. sinx-(sqrt{2}+1)(cosx-sinx)=0

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

sinx-sqrt{2}cosx+sqrt{2}sinx-cosx+sinx=0

(sqrt{2}+2)sinx-(sqrt{2}+1)cosx=0

(sqrt{2}+2)sinx=(sqrt{2}+1)cosx

{sinx}/{cosx}={(sqrt{2}+1)}/{sqrt{2}+2}

tgx={(sqrt{2}+1)}/{sqrt{2}({sqrt{2}+1})}

tgx=1/{sqrt{2}}={sqrt{2}}/2

x=arctg({{sqrt{2}}/2})+{pi}k, k{in}{bbZ}

Итак, мы получили два решения:

x={pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}

x=arctg({{sqrt{2}}/2})+{pi}k, k{in}{bbZ}

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку [{pi}/4;{7{pi}}/4]:

На рисунке красными точками обозначены решения уравнения;

синей дугой обозначен промежуток, которому принадлежат корни;

угловая величина сиреневой дуги равна arctg({{sqrt{2}}/2}).

Двигаясь из точки {pi}/4, мы встречаем на пути {pi}/2, {pi}+arctg({{sqrt{2}}/2}), {3{pi}}/2 - это и есть корни уравнения, принадлежащие промежутку [{pi}/4;{7{pi}}/4]. Мы видим, что корень arctg({{sqrt{2}}/2}) не принадлежит заданному промежутку.

Ответ: а) x={pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ};

x=arctg({{sqrt{2}}/2})+{pi}k, k{in}{bbZ}

б) {pi}/2, {pi}+arctg({{sqrt{2}}/2}), {3{pi}}/2

И второе задание:

а) Решите уравнение:

1/{tg^2{x}}+3/{sinx}+3=0

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку

[{-5{pi}}/2;-{pi}]

Засада в этом уравнении такая: когда мы ищем ОДЗ, то записываем

tgx<>0 и sinx<>0. Будет ошибкой записать ОДЗ: x<>{pi}k, k{in}{bbZ},

Нельзя забывать, что tgx не определен при x={pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}, то есть в конечном итоге мы получаем такую  ОДЗ: x<>{{pi}k}/2, k{in}{bbZ}:

Собственно, больше никаких сложностей в этом уравнении нет.

{cos^2{x}}/{sin^2{x}}+3/{sinx}+3=0

Умножим обе части на {sin^2{x}}:

{cos^2{x}}+3sinx+3sin^2{x}=0

{cos^2{x}}+3sinx+3sin^2{x}=0

{(1-sin^2{x})}+3sinx+3sin^2{x}=0

2sin^2{x}+3sinx+1=0

Отсюда

sinx=-1 или sinx=-1/2

И вот в этом месте важно не пропустить, что корень уравнения sinx=-1 - посторонний корень, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения!

Но у нас еще есть корни уравнения sinx=-1/2:

x=-{pi}/6+2{pi}k, k{in}{bbZ} или x=-{5{pi}}/6+2{pi}k, k{in}{bbZ}

Осталось выбрать корни, принадлежащие промежутку [{-5{pi}}/2;-{pi}]

На рисунке красными точками на зеленой окружности обозначены решения уравнения;

красной дугой обозначен промежуток, которому принадлежат корни;

угловая величина сиреневой дуги равна {pi}/6.

Двигаясь из точки {-5{pi}}/2, мы встречаем на пути -2{pi}-{pi}/6=-{13{pi}}/6 - это и есть корень уравнения, принадлежащий промежутку delim{[}{{-5{pi}}/2;-{pi}}{]}.

Ответ: а) x=-{pi}/6+2{pi}k, k{in}{bbZ} или x=-{5{pi}}/6+2{pi}k, k{in}{bbZ}

б) -{13{pi}}/6

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Тригонометрические уравнения с засадой. Задание С1
| Отзывов (14)

Отзывов (14)

  1. Лена
    в 01:48

    это, я думаю описка, сosx не равно 0. «Где знаменатель дроби не равен 0» нужно sinx не равен 0.(пример1)
    Ответить
    • Инна
      в 05:50

      Конечно, спасибо.
      Ответить
    • Матвей
      в 06:05

      Да, тоже заметил.
      Ответить
  2. ирина
    в 15:59

    мда……… такую *опу я не решу..((
    Ответить
  3. Artem
    в 17:34

    У меня вопрос. Если sinx=-1/2, то получится x1=-П/6+2Пn; x2=7П/6+2Пn ?
    Ответить
    • Инна
      в 17:36

      Лучше второй корень записать как -5П/6+2Пn, а так да.
      Ответить
      • Artem
        в 18:27

        Как как так получилось -5П/6+2Пn? Мы же вроде находим корень x2=П-arcsina+2Пn? У меня и получилось П-(-П/6)+2Пn
        Ответить
        • Инна
          в 05:29

          Точка-то одна и та же. Согласна с вашей записью.
          Ответить
  4. катя
    в 10:11

    почему cosx=0 если знаменатель cosx-sinx и sinx не равны нулю. cosx не равен sinx. тогда и косинус не равен 0?
    Ответить
    • Инна
      в 10:22

      В чем противоречие?
      Ответить
      • катя
        в 20:41

        тогда cosx=0 не входит в ОДЗ и {pi}/2, {3{pi}}/2 не будут являться корнями
        Ответить
        • Инна
          в 07:00

          В этом случае cosx-sinx и sinx не равны нулю. Эти корни удовлетворяют ОДЗ
          Ответить
          • катя
            в 09:14

            cosx-sinx не равен нулю, отсюда cosx не равен sinx. так как sinx не равен нулю, то cosx не равен нулю. не пойму где я ошибаюсь
            Ответить
          • Инна
            в 09:22

            cosx не равен sinx и sinx не равен нулю. Отсюда не следует, что cosx не равен нулю.
            Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *