Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2014-02-08

Главная » СТАТЬИ » ПРОГРЕССИИ » Арифметическая прогрессия. Часть 1

08 Фев 2014

ПРОГРЕССИИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Арифметическая прогрессия. Часть 1

Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию, рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия - это частный случай числовой последовательности.

Числовая последовательность - это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер. Элементы этого множества называются членами последовательности. Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:

a_1 - первый элемент последовательности;

a_5 - пятый элемент последовательности;

a_n - "энный" элемент последовательности, т.е. элемент, "стоящий в очереди" под номером n.

Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность - это функция от натурального аргумента:

a(n)=a_n

Последовательность можно задать тремя способами:

1. Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.

Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:

В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй - время в минутах. Мы видим, что a_1=125 , то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут, a_4=248 , то есть в четверг - 248 минут, а a_5=15 , то есть в пятницу всего 15.

2. Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.

В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.

Например, если a_n=n^2-4n , то

a_1=1^2-4*1=-3

a_5=5^2-4*5=20

$a_{k+1}=(k+1)^2-4*(k+1)=k^2-2k-3$

Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.

То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо в уравнение функции:

Если, например, f(x)=x^2-4x , то f(1,2)=(1,2)^2-4*1,2=-3,36

Ещё раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.

3. Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.

Например, рассмотрим последовательность $b_n=2b_{n-1}+b_{n-2}$ , b_1=2,~b_2=4

Мы можем находить значения членов последовательности один за другим, начиная с третьего:

b_3=2b_2+b_1=8+2=10

b_4=2b_3+b_2=20+4=24

b_5=2b_4+b_3=48+10=58

То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным, от латинского слова recurro - возвращаться.

Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это простой частный случай числовой последовательности.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Число $d=a_k-a_{k-1}$ называется разностью арифметической прогрессии. Разность арифметической прогрессии может быть положительной, отрицательной, или равной нулю.

Если d>0 , то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является возрастающей.

Например, 2; 5; 8; 11;... d=3

Если d<0 , то каждый член арифметической прогрессии меньше предыдущего, и прогрессия является убывающей.

Например, 2; -1; -4; -7;... d=-3

Если d=0 , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и прогрессия является стационарной.

Например, 2;2;2;2;...

Основное свойство арифметической прогрессии:

Посмотрим на рисунок.

Мы видим, что

$a_k=a_{k-1}+d$ , и в то же время

$a_k=a_{k+1}-d$

Сложив эти два равенства, получим:

$2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$ .

Разделим обе части равенства на 2:

$a_k={a_{k-1}+a_{k+1}}/2$

Итак, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних:

Больше того, так как

$a_k=a_{k-l}+ld$ , и в то же время

$a_k=a_{k+l}-ld$ , то

$2a_k=a_{k-l}+a_{k+l}$ , и, следовательно,

Каждый член арифметической прогрессии, начиная с , равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.

Формула го члена.

Мы видим, что для членов арифметической прогрессии выполняются соотношения:

a_2=a_1+d

a_3=a_2+d=a_1+2d

a_4=a_3+d=a_1+3d

...

и, наконец, $a_n=a_{n-1}+d=a_1+d(n-1)$

Мы получили формулу n-го члена.

ВАЖНО! Любой член арифметической прогрессии можно выразить через a_1 и . Зная первый член и разность арифметической прогрессии можно найти любой её член.

Сумма n членов арифметической прогрессии.

В произвольной арифметический прогрессии суммы членов, равноотстоящих от крайних равны между собой:

a_1+a_n=a_1+(a_1+d(n-1))=2a_1+d(n-1)

$a_2+a_{n-1}=a_1+d+(a_1+d(n-2))=2a_1+d(n-1)$

$a_3+a_{n-2}=a_1+2d+(a_1+d(n-3))=2a_1+d(n-1)$

Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой n членов. Пусть сумма n членов этой прогрессии равна S_n .

Расположим члены прогрессии сначала в порядке возрастания номеров, а затем в порядке убывания:

Сложим попарно: $(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+...+(a_n+a_1)=2S_n$

Сумма в каждой скобке равна a_1+a_n , число пар равно n.

Получаем:

2S_n=(a_1+a_n)n

$S_n={a_1+a_n}/2n={2a_1+d(n-1)}/2n$

Итак, сумму n членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:

Рассмотрим решение задач на арифметическую прогрессию.

1. Последовательность задана формулой n-го члена: a_n=3-12n . Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

Докажем, что разность между двумя соседними членами последовательности равна одному и тому же числу.

$a_{n-1}=3-12{(n-1)}=15-12n$

$a_n-a_{n-1}=(3-12n)-(15-12n)=-12$

Мы получили, что разность двух соседних членов последовательности не зависит от их номера и является константой. Следовательно, по определению, эта последовательность является арифметической прогрессией.

2. Дана арифметическая прогрессия -31; -27;...

а) Найдите 31 член прогрессии.

б) Определите, входит ли в данную прогрессию число 41.

а) Мы видим, что a_1=-31 ; d=-27-(-31)=4

Запишем формулу n-го члена для нашей прогрессии.

В общем случае a_n=a_1+d(n-1)

В нашем случае a_1=-31,~d=4 , поэтому a_n=-31+4(n-1)

Получаем:

$a_{31}=-31+4(31-1)=89$

б) Предположим, что число 41 является членом последовательности. Найдем его номер. Для этого решим уравнение:

41=-31+4(n-1)

4n-35=41

4n=76

n=19

Мы получили натуральное значение n, следовательно, да, число 41 является членом прогрессии. Если бы найденное значение n не было бы натуральным числом, то мы бы ответили, что число 41 НЕ является членом прогрессии.

3. а) Между числами 2 и 8 вставьте 4 числа так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию.

б) Найдите сумму членов полученной прогрессии.

а) Вставим между числами 2 и 8 четыре числа:

Мы получили арифметическую прогрессию, в которой 6 членов. a_1=2; ~a_6=8

Найдем разность этой прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена:

a_6=a_1+5d=2+5d=8

5d=6; ~~d=1,2

Теперь легко найти значения чисел:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

б) $S_6={a_1+a_6}/2{6}={2+8}/2{6}=30$

Ответ: а) да; б) 30

4. Грузовик перевозит партию щебня массой 240 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на двенадцатый день, если вся работа была выполнена за 15 дней.

По условию задачи количество щебня, которое перевозит грузовик, каждый день увеличивается на одно и то же число. Следовательно, мы имеем дело с арифметической прогрессией.

Сформулируем эту задачу в терминах арифметической прогрессии.

За первый день было перевезено 2 тонны щебня: [pmath size=14]a_1=2[/pmath].

Вся работа была выполнена за 15 дней: n=15 .

Грузовик перевозит партию щебня массой 240 тонн: $S_{15}=240$

Нам нужно найти $a_{12}$ .

Сначала найдем разность прогрессии. Воспользуемся формулой суммы n членов прогрессии.

$S_n={2a_1+d(n-1)}/2n$

В нашем случае:

$S_{15}={2*2+d(15-1)}/2{15}=240$

(2+7d)*15=240

2+7d=16

d=2

Найдем $a_{12}$ по формуле n-го члена:

$a_{12}=a_1+11d=2+22=24$

Ответ: 24.

Продолжение статьи - решение основных типов задач на арифметическую прогрессию - читайте здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (20)

Отзывов (20)

← Предыдущие комментарии

Темирбек

2017-03-24 в 16:07

(2*2017)/1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+…..+1/(1+2+3….+2017)=?

Ответить
- Инна
  
  2017-03-24 в 16:16
  
  Условие не понятно.
  
  Ответить