Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
09 Фев 2014
ПРОГРЕССИИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Арифметическая прогрессия. Часть 2

Мы дали определение арифметической прогрессии,  вывели основные формулы и решили несколько базовых задач здесь. В этой статье мы рассмотрим основные типы задач на арифметическую прогрессию.

Общий подход к решению задач на прогрессии такой: если в задаче есть слово "сумма", то применяем формулу суммы n членов арифметической прогрессии. Если слова "сумма" нет, то записываем формулу n-го члена. Затем условие задачи, и то, что нам нужно узнать выражаем через a_1 и d.

Рассмотрим примеры решения задач.

1. Арифметическая прогрессия задана формулой a_n=98-5n.

a) Найдите сумму положительных членов данной прогрессии.

б) Найдите сумму членов данной прогрессии с 5 по 14 включительно.

1. Чтобы найти сумму положительных членов прогрессии, нужно знать их количество. Выясним, сколько в прогрессии положительных членов.

По условию a_n=98-5n. Решим неравенство

98-5n>0  и найдем наибольшее n, удовлетворяющее этому неравенству.

5n<98

n<19,6.

Наибольшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству n=19.

Следовательно, в прогрессии 19 положительных членов и нам надо найти их сумму.

S_{19}={a_1+a_19}/2{19}

a_1=98-5n=98-5*1=93

a_{19}=98-5*19=3

S_{19}={93+3}/2{19}=912

б) Формула для нахождения суммы n членов арифметической прогрессии позволяет найти сумму членов с 1 по n включительно. Чтобы найти сумму с 5 по 14 включительно, мы поступим так:

Очевидно, что S_{5-14}=S_{14}-S_4

S_4={a_1+a_4}/2{4}

a_1=93;~a_4=98-5*4=78

S_4={93+78}/2{4}=342

S_{14}={a_1+a_{14}}/2{14}

a_{14}=98-5*14=28

S_14={93+28}/2{14}=847

S_{5-14}=S_{14}-S_4=847-342=505

Ответ: а) 912; б) 505

 

2. Четвертый член арифметической прогрессии равен 9, а восьмой равен 7. Найти сумму пяти членов прогрессии.

Запишем условие задачи в виде системы, выразив a_4,  a_8 и S_5 через a_1 и d.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a_1+3d=9} {a_1+7d=7} }}{ }    (1)

********

Найти  S_5={2a_1+d(5-1)}/2{5}.

Чтобы найти S_5 нам нужно знать a_1 и d. Найдем их, решив систему (1)

Вычтем из второго уравнения первое, получим

4d=-2

d=-1/2

Подставим d=-1/2 в первое уравнение системы:

a_1+3(-1/2)=9

a_1=10,5

Теперь найдем S_5:

S_5={2a_1+d(5-1)}/2{5}={2*10,5+(-1/2)(5-1)}/2{5}=47,5

Ответ: 47,5

 

3. Сумма третьего, пятого и седьмого членов арифметической прогрессии равна 60, а произведение пятого и шестого членов этой прогрессии равно 300. Найдите сумму пятнадцати первых членов этой прогрессии.

Запишем условие задачи, выразив a_3, a_5, a_7, a_5, a_6, и S_15 через a_1 и d:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(a_1+2d)+(a_1+4d)+(a_1+6d)=60} {(a_1+4d)*(a_1+5d)=300} }}{ }   (2)

******

Найти  S_{15}={2a_1+d(15-1)}/2{15}.

Чтобы найти S_{15} нам нужно знать a_1 и d. Найдем их, решив систему (2)

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3a_1+12d=60} {(a_1+4d)*(a_1+5d)=300} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a_1=20-4d} {(a_1+4d)*(a_1+5d)=300} }}{ }

Подставим выражение a_1 через d во второе уравнение системы.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a_1=20-4d} {((20-4d)+4d)*((20-4d)+5d)=300} }}{ }

Решим второе уравнение:

20*(20+d)=300

20+d=15

d=-5

a_1=20-4d=40

S_{15}={2a_1+d(15-1)}/2{15}={2*40+(-5)(15-1)}/2{15}=75

Ответ: 75

 

4. Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 18. Найти сумму тринадцати членов этой прогрессии.

Запишем условие задачи в виде системы, выразив a_5,  a_9 и S_{13} через a_1 и d.

(a_1+4d)+(a_1+8d)=18 (3)

**************

Найти S_{13}={2a_1+12d}/2{13}

В этой задаче мы не можем пойти проторенной дорожкой, поскольку у нас только одно уравнение, а неизвестных два. Мы не можем найти по отдельности a_1 и d.

И не будем пытаться.

Упростим левую часть уравнения (3) и разделим обе части на 2, получим:

a_1+6d=9  (4)

Теперь посмотрим, что нам нужно найти:

S_{13}={2a_1+12d}/2{13}=(a_1+6d)*13=( из (4))9*13=117

Ответ: 117

 

5. Если разделить шестой член арифметической прогрессии на первый, то в частном получится 4, а в остатке 1. Разность пятого и второго ее членов равна 4,2. Сколько членов содержит прогрессия, если сумма ее первого и последнего членов равна 11.

Как обычно, выразим условие задачи  через a_1 и d.

Остановимся подробнее на первом условии. Как записать в виде равенства "если разделить шестой член арифметической прогрессии на первый, то в частном получится 4, а в остатке 1".

Если, например, мы хотим разделить 16 на 5, то в частном получим 3 и в остатке 1. То есть если мы из 16 вычтем 1, то оставшееся число 15 разделится на 5 без остатка:

16-1=5*3 или 16=5*3+1

В общем случае

Итак, запишем условие задачи. Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{a_1+5d={a_1}*4+1} {(a_1+4d)-(a_1+d)=4,2} {a_1+(a_1+d(n-1))=11}}}{ }

Из второго уравнения получаем 3d=4,2; d=1,4

Подставим значение d в первое уравнение и найдем a_1:

a_1+5*1,4=4a_1+1

3a_1=6; a_1=2

Подставим значения d и a_1 в третье уравнение системы и найдем n:

2*2+1,4(n-1)=11

n-1=5

n=6

Ответ: 6

 

6. Найти сумму трехзначных чисел, которые делятся на 5, но не делятся на 3.

Число, которое делится на 3 и на 5, делится на 15. Следовательно, чтобы найти сумму трехзначных чисел, которые делятся на 5, но не делятся на 3, нам нужно:

1. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 5.

2. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 15.

3. Из первой суммы вычесть вторую.

1. Первое трехзначное число, которое делится на 5 - число 100.

Последнее - число 995.  Очевидно, что мы имеем арифметическую прогрессию, в которой a_1=100; ~d=5. Найдем число членов этой прогрессии.

a_n=a_1+d(n-1)=995

100+5(n-1)=995

n=180

S_{180}={100+995}/2{180}=98550

Итак, сумма трехзначных чисел, кратных 5 равна 98550.

2. Первое трехзначное число, которое делится на 15, равно 105. Перед нами арифметическая прогрессия, в которой a_1=105; ~d=15. Найдем число членов этой прогрессии, которые меньше 1000. Для этого решим неравенство:

a_n=105+15(n-1)<1000

105+15(n-1)<1000

15(n-1)<895

n-1<{59}2/3

Наибольшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству n=60.

Найдем сумму 60 членов это прогрессии.

S_{60}={2*105+15*(60-1)}/2{60}=32850

3. Вычтем из первой суммы вторую:

98550-32850=65700

Ответ: 65700

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Арифметическая прогрессия. Часть 2
| Отзывов (11)

Отзывов (11)

  1. Ольга
    в 14:34

    Извините, пожалуйста, возможно я ошибаюсь, но почему в шестом номере в пункте 2 n=59, ведь 59=n-1, значит n=60 или я не права?
    Ответить
    • Инна
      в 14:46

      Нет, Ольга, это я ошиблась. Спасибо!
      Ответить
  2. Алексей
    в 23:10

    S_180 у вас неверно. Должно быть 895 вместо 995 в формуле.
    Ответить
    • Инна
      в 09:04

      Почему?
      Ответить
  3. Ольга
    в 17:01

    Спасибо Вам за Ваш сайт. Вся информация изложена очень грамотно, лаконично и компактно. А в 6-ом примере в формуле для S_180 не 200, а 100? Или я ошибаюсь?
    Ответить
    • Инна
      в 17:46

      Да, вы правы, спасибо!
      Ответить
  4. Aнна
    в 12:49

    Помогите, пожалуйста, завтра контрольная работа!
    Как найти сумму чисел кратных 13, больше 200 и меньше 300?
    Ответить
    • Инна
      в 13:14

      Находим самое маленькое число кратное 13 и больше 200 — это 208
      Следующее число, кратное 13 = 208+13=221
      Следующее 221+13=234
      И так далее. Нужно найти последнее число и посчитать сколько всего таких чисел.
      Получили арифметическую прогрессию, в которой а1=208, d=13. Нужно найти сумму.
      Ответить
  5. Рита
    в 19:12

    Добрый день! Помогите пожалуйста с решением задачи: «Бригада лесорубов заготавливает каждый день на одно и то же количество древесины больше, чем в предыдущий. Известно, что за первый, пятый и шестой день бригада заготовила 72м3 древесины. Определить, какое количество древесины бригада заготовила за первые 7 дней работы.»
    Ответить
    • Инна
      в 15:01

      Рассматриваем арифметическую прогрессию.

      — сколько бригада заготовила в 1 день.
      — на сколько больше древесины бригада заготавливает в след. день.
      — сколько бригада заготовила в 5 день.
      — сколько бригада заготовила в 6 день.
      (1)- сколько бригада заготовила за первый, пятый и шестой день.
      За первые семь дней бригада заготовила (по формуле суммы ар. прогрессии)
      (из (1))
      Ответить
      • Рита
        в 17:58

        Благодарю!
        Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *