Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2014-02-16

Главная » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Уравнение касательной

16 Фев 2014

ПРОИЗВОДНАЯ

Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции y=f(x) в точке x_0 проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке x_0 .

уравнения касательной

$k=tg{alpha}=f^{prime}(x_0)$

Возьмем на касательной произвольную точку с координатами ( x;y) :

уравнения касательной

И рассмотрим прямоугольный треугольник ABC :

уравнения касательной

В этом треугольнике $tg{alpha}={BC}/{AB}={y-f(x_0)}/{x-x_0}=f{prime}(x_0)$

Отсюда ${y-f(x_0)}= f{prime}(x_0)(x-x_0)$

Или

$y=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(x-x_0)$

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x_0 .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти f(x_0) и $f{prime}(x_0)$ .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания x_0

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции y=f(x) в точке x_0 .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3-2x^2+3 в точке x_0=1 .

а) Найдем значение функции в точке x_0=1 .

f(1)=1^3-2*1^2+3=2 .

б) Найдем значение производной в точке x_0=1 . Сначала найдем производную функции y=f(x)

$f{prime}(x)=3x^2-4x$

$f{prime}(1)=3*1^2-4*1=-1$

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

y=2+(-1)(x-1)

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим: y=-x+3

Ответ: y=-x+3 .

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции $y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2$ параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции $y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2$ в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции $y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2$ .

$y{prime}=x^3-8x^2+15x$

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

x^3-8x^2+15x=0

x(x^2-8x+15)=0

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

x_1=0;~~x_2=3;~~x_3=5

Ответ: 0;3;5

3. Написать уравнения касательных к графику функции y={3x-4}/{2x-3} , параллельных прямой y=-x+3 .

Касательная параллельна прямой y=-x+3 . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция y={3x-4}/{2x-3} и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции y={3x-4}/{2x-3} равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

$({u/v})^{prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}$

$y{prime}={(3x-4){prime}(2x-3)-(2x-3){prime}(3x-4)}/{(2x-3)^2}={3(2x-3)-2(3x-4)}/{(2x-3)^2}={-1}/{(2x-3)^2}$

Приравняем производную к числу -1.

${-1}/{(2x-3)^2}=-1$

(2x-3)^2=1

2x-3=1 или 2x-3=-1

x_0=2 или x_0=1

б) Найдем уравнение касательной к графику функции y={3x-4}/{2x-3} в точке x_0=2 .

Найдем значение функции в точке x_0=2 .

y(2)={3*2-4}/{2*2-3}=2

y{prime}(2)=-1 (по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

y=2+(-1)(x-2)=-x+4 .

б) Найдем уравнение касательной к графику функции y={3x-4}/{2x-3} в точке x_0=1 .

Найдем значение функции в точке x_0=1 .

y(1)={3*1-4}/{2*1-3}=1

y{prime}=-1 (по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

y=1+(-1)(x-1)=-x+2 .

Ответ: y=-x+4;~~y=-x+2

4. Написать уравнение касательной к кривой $y=sqrt{8-x^2}$ , проходящей через точку A(3,1)

Сначала проверим, не является ли точка A(3,1) точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки A(3,1) в уравнение функции.

$1<>sqrt{8-3^2}$ . Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка A(3,1) не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение x_0 .

Пусть x_0 - точка касания. Точка A(3,1) принадлежит касательной к графику функции $y=sqrt{8-x^2}$ . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

$1=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(3-x_0)$ .

Значение функции $y=sqrt{8-x^2}$ в точке x_0 равно $f(x_0)= sqrt{8-{x_0}^2}$ .

Найдем значение производной функции $y=sqrt{8-x^2}$ в точке x_0 .

Сначала найдем производную функции $y=sqrt{8-x^2}$ . Это сложная функция.

$f{prime}(x)={1/{2sqrt{8-x^2}}}*(8-x^2){prime}={{-2x}/{2sqrt{8-x^2}}}$

Производная в точке x_0 равна $f{prime}(x_0)={-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}$ .

Подставим выражения для f(x_0) и $f{prime}(x_0)$ в уравнение касательной. Получим уравнение относительно x_0 :

$1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)$

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

$1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-{x_0}}/{sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)$

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

$1={8-{x_0}^2-{x_0}(3-x_0)}/{sqrt{8-{x_0}^2}}$

Упростим числитель дроби и умножим обе части на ${sqrt{8-{x_0}^2}}$ - это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

${8-3x_0}={sqrt{8-{x_0}^2}}$

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }$

Решим первое уравнение.

$10{x_0}^2-48x_0+56=0$

$5{x_0}^2-24x_0+28=0$

Решим квадратное уравнение, получим

x_0=2 или x_0=2,8

Второй корень не удовлетворяет условию 8-3x_0>=0 , следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой $y=sqrt{8-x^2}$ в точке x_0=2 . Для этого подставим значение x_0=2 в уравнение $y=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(x-x_0)$ - мы его уже записывали.

Получим:

$y=sqrt{8-{2}^2}-{2*{2}}/{2sqrt{8-{(2)}^2}}(x-2)$

y=2-(x-2)=-x+4

Ответ: y=-x+4
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (26)

Отзывов (26)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Диана

2017-01-19 в 22:46

Спасибо, очень полезная статья. Но у меня вот какой вопрос: как найти уравнение касательной, если дана система уравнений

Ответить
- Инна
  
  2017-01-20 в 07:30
  
  Можете конкретизировать вопрос?
  
  Ответить
Ксения

2017-05-26 в 07:05

помогите, пожалуйста с решением задания, срочно надо. Найти уравнение касательной к графику функции y=f(x), проходящей параллельно прямой. Сделать чертеж. y=x^2-2x-3,y=2x+2

Ответить
- Инна
  
  2017-05-26 в 07:18
  
  Касательная параллельная прямой =2x+2, значит производная в точке касания равна 2.
  y’=2x-2
  y'(x0)=2
  2×0-2=2; x0=2;
  Значение функции в точке касания: y(2)=-3
  уравнение касательной:
  y=-3+2(x-2)
  y=2x-7
  
  Ответить
Tamanno

2017-12-04 в 19:47

Помогите пожалуйста. Составить уравнения касательных к параболе y^2=3x проходящие через точки P(4;6)

Ответить
- Инна
  
  2017-12-04 в 20:00
  
  Составьте уравнение касательной к графику функции $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и к графику функции $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .
  
  Ответить
Катя

2017-12-25 в 08:37

Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой если: f(x)= x^3 — 1, x0= -1

Ответить
Влад

2017-12-31 в 19:44

Здравствуйте! Никак не могу додуматься как же составить уравнение касательной к графику функции заданному параметрически, точка которого ему не принадлежит.
Например, есть эллипс, заданный параметрически
x = 2cost, y = sint и точка A(-3cos(pi/4), sin(pi/4)).
Если уравнение эллипса задано в аналитическом каноническом виде, то там понятно как действовать, а здесь нет. Прошу помочь, уже не знаю что делать.

Ответить
сапар

2019-01-27 в 14:15

.Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности   22 43ln y xz   в точке   7ln2;1;1A

Ответить
Дилара

2019-02-14 в 17:07

здравствуйте, можете помочь ч уравнением касательной?
пропустила эту тему и не могу разобраться
y=3-x/x-2

Ответить