Наибольшее и наименьшее значение логарифмической функции. Задание 12

В этой статье мы рассмотрим решение двух примеров, которые на первый взгляд очень похожи, а на второй принципиально отличаются друг от друга.

Итак.

Пример 1

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Чтобы найти наибольшее значение функции, нам надо найти ее производную, затем приравнять производную к нулю, определить ее знаки и выяснить поведение функции на отрезке.

В этом примере под знаком логарифма стоит выражение  в пятой, то есть в нечетной степени. Если мы возводим отрицательное число в нечетную степень, то в результате получаем отрицательное число. Поскольку выражение по знаком логарифма должно быть больше нуля, следовательно, и отсюда .

Упростим функцию: вынесем показатель степени за знак логарифма. Получим .

Найдем производную функции. (Не забываем, что мы, строго говоря, имеем дело со сложной функцией.)

Найдем нули производной:

Определим знаки производной: (учитываем, что )

И, соответственно, поведение функции:

В точке производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума функции. Точка -4 принадлежит заданному отрезку:

Следовательно, в точке функция принимает наибольшее значение на отрезке .

Найдем значение функции при :

Ответ: 20.

Замечание. Так как при решений заданий В-части в ответе должно получиться целое число или конечная десятичная дробь, а  натуральный логарифм при рациональном аргументе принимает такие значения только в том случае, если его аргументом является число 1, то мы могли бы сразу сказать, что , т.к.  . Но это для тех, кому трудно освоить алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке.

Пример 2.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

В этом примере под знаком логарифма стоит выражение в квадрате. Выражение в четной степени больше нуля, если основание степени не равно нулю, поэтому область допустимых значений этой функции . Если бы мы решили вынести показатель степени за знак логарифма, то получили бы такое выражение:

При вынесении четной степени не забываем ставить модуль! Если бы мы забыли поставить знак модуля, то сузили бы область определения функции.

Далее, чтобы взять производную, нам пришлось бы раскрыть модуль, а для этого рассмотреть два промежутка: и . Но поскольку в школе практически не рассматривают нахождение производной от функции с модулем, мы не будем выносить показатель степени за знак производной, а найдем производную сложной функции:

Найдем нули производной:

В точке -4 производная не определена, но меняет знак.

Исследуем знаки производной:

В точке производная равна нулю и меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума функции.

Ответ: -5

И.В. Фельдман, репетитор по математике.