В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.
Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, "с чем ее едят", и "как правильно ее готовить".
Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:
Заметим, что аргумент , стоящий в правой и левой части уравнения функции - это одно и то же число, или выражение.
Вместо переменной мы можем поставить, например, такое выражение: . И тогда мы получим функцию
.
Назовем выражение промежуточным аргументом, а функцию - внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.
Строгое определение понятия сложной функции звучит так:
Пусть функция определена на множестве и - множество значений этой функции. Пусть, множество (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим в соответствие каждому из число . Тем самым на множестве будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.
В этом определении, если пользоваться нашей терминологией, - внешняя функция, - промежуточный аргумент.
Производная сложной функции находится по такому правилу:
Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:
В этом выражении с помощью обозначена промежуточная функция.
Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно
1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.
2. Определить промежуточный аргумент.
В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:
а. Запишите уравнение функции.
б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.
Например, в функции
последнее действие - возведение в степень.
Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент
как
Получим
Ищем в таблице производных производную показательной функции:
Получим:
(1)
Теперь наша задача найти производную функции
Заметим, что здесь мы опять имеем дело со сложной функцией. В этом выражении последнее действие - возведение в квадрат, а промежуточный аргумент .
Получаем:
Смотрим в таблице производных производную синуса:
Получаем:
Подставим полученное значение производной в выражение (1):
И, наконец, упростим выражение, вспомнив формулу синуса двойного аргумента:
Таким образом,
Заметим, что функции иногда похожи на матрешку: промежуточный аргумент сам является сложной функции. Но тогда при нахождении производной промежуточного аргумента, нужно вновь применить правило нахождения производной сложной функции.
Здрастуйте,помогите найти праизводную функцию
3√(3х-2)2
7√(3-14х)2
Здраствуйте! Помогите подалуйста найти производные заданных функций
1. y=5*x-6/3sqrt (x^3+5*x-2)
2.y=(2^tg x+ln sin x)^
3.y=(1-x)^arctg (sqrt (x))
4.sin x -arctg y=0
5. сИстема x=t-sin t
y=1-coz t
Здраствуйте! Помогите подалуйста найти производные заданных функций
1. y=5*x-6/3sqrt (x^3+5*x-2)
2.y=(2^tg x+ln sin x)^4
3.y=(1-x)^arctg (sqrt (x))
4.sin x -arctg y=0
5. сИстема x=t-sin t
y=1-cos t
y’=(arcsin^2 cos(3x-7)
Здравствуйте.Пожалуйстапомогите решить
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции
f (х)=корень 8+2 x в квадрате параллельна биссектрисе третьего координатного угла?
Уравнение биссектрисы третьего координатного y=x, то есть коэффициент наклона касательной равен 1. Находим производную, приравниваем ее к 1, и находим х0 — абсциссу точки касания.
Здравствуйте, не могу разобраться с решением производных подскажите, пожалуйста. y=sin^3x^2 и y=√(x+√x)/(x-√x)
Помогите, пожалуйста, решить! y=(tg3x)^(1-2x),y=(x^2+x+1)cos5x, y=arctg^2×4x, y=ln^6(2-корень из x)