Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
25 Янв 2015
ПРОИЗВОДНАЯФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Задача на нахождение наименьшего значения функции

Решим задачу:

Окружность с центром в точке (4;1) касается параболы y={1/2}x^2. Найдите абсциссу точки касания.

Построим чертеж к нашей задаче

Точки, лежащие на параболе, имеют координаты (x;{1/2}x^2).

Для нас важно, что расстояние от  центра окружности до точки касания меньше, чем расстояние от центра окружности до любой другой точки параболы:

Итак, найдем, при каком значении x длина отрезка AO принимает наименьшее значение.

Зависимость длины отрезка AO от x выражается следующей формулой:

delim{|}{AO}{|}=sqrt{(x-4)^2+({1/2}x^2-1)^2}

Найдем, при каком значении x функция f(x)=sqrt{(x-4)^2+({1/2}x^2-1)^2} принимает наименьшее значение.

Так как функция f(x)=sqrt{x}  является возрастающей, следовательно, меньшему значению значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть функция f(x)=sqrt{(x-4)^2+({1/2}x^2-1)^2} принимает наименьшее значение в той же точке, что и подкоренное выражение, то есть функция y=(x-4)^2+({1/2}x^2-1)^2.

Найдем, в какой точке функция y=(x-4)^2+({1/2}x^2-1)^2 принимает наименьшее значение.

Найдем производную:

y^{prime}=2(x-4)+2({1/2}x^2-1)x=x^3-8

Найдем нули производной:

x^3-8=0

x=2

Выясним знаки производной. При x>2 производная положительна:

Мы получили, что x=2 - точка минимума функции, то есть при x=2 длина отрезка AO минимальна, и абсцисса точки касания равна 2.

Ответ: 2

И.В. Фельдман, репетитор по математике.


 

Для вас другие записи этой рубрики:

Задача на нахождение наименьшего значения функции
| Отзывов нет

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *