Сложная функция. Производная сложной функции.

В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.

Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, "с чем ее едят", и "как правильно ее готовить".

Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:

Заметим, что аргумент , стоящий в правой  и левой части уравнения функции - это одно и то же число, или выражение.

Вместо переменной  мы можем поставить, например, такое выражение: . И тогда мы получим функцию

.

Назовем выражение  промежуточным аргументом, а функцию  - внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.

Строгое определение понятия сложной функции звучит так:

Пусть функция   определена на множестве  и  - множество значений этой функции. Пусть, множество  (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим  в соответствие каждому  из  число . Тем самым на множестве  будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией,   - внешняя функция,  - промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:

В этом выражении  с помощью обозначена промежуточная функция.

Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Например, в функции

 последнее действие  - возведение в степень.

Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент

как 

Получим 

Ищем в таблице производных  производную показательной функции:

Получим:

    (1)

Теперь наша задача найти производную функции

Заметим, что здесь мы опять имеем дело со сложной функцией. В этом выражении последнее действие - возведение в квадрат, а промежуточный аргумент .

Получаем:

Смотрим в таблице производных производную синуса:

Получаем:

Подставим полученное значение производной в выражение (1):

И, наконец, упростим выражение, вспомнив формулу синуса двойного аргумента:

Таким образом,

Заметим, что функции иногда похожи на матрешку: промежуточный аргумент сам является сложной функции. Но тогда при нахождении производной промежуточного аргумента, нужно вновь применить правило нахождения производной сложной функции.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.