1. В выпуклом четрырехугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четыреугольника NPQM можно описать окружность. PQ=14, SQ=4.
Решение. показать
- биссектриса угла 
, следовательно, дуги 
и 
равны, следовательно, 
и треугольник 
- равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
и 
. Они подобны по двум углам:
2. В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ=7:3. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади четырехугольника КРСМ.
Решение. показать
. Выразим площади треугольника 
и четырехугольника 
через 
.
. Тогда
- так как ВМ - медиана, следовательно, точка М - середина АС и АМ=МС.
, так как по условию ВК:КМ=7:3. Следовательно, 
и 
по двум. 
. Пусть 
. Тогда 
и 
(они также подобны по двум углам).
3. Углы при одном из оснований трапеции равны 
и 
, а отрезки, соединяющие середины сторон трапеции равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.
Решение. показать
. Так как сумма углов 
и 
равна 
, треугольник 
:
- по свойству средней линии трапеции.
Отсюда
- не подходит по смыслу задачи.4. Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР. Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен 96, тангенс угла ВАС равен 
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Решение. показать
. Тогда 
. По теореме Пифагора 
.
. Отсюда 
. Следовательно, 
. 
. Отсюда 
, где 
и 
- катеты, а 
- гипотенуза треугольника.
В задании № 3 опечатка — медиана OL
Да, спасибо)
Инна Владимировна! Помогите разобраться,пожалуйста. Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 22 и 33, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
см.
Прошу прощения, последнее по теореме синусов R=BC/2sinA. Двойку потеряла
Доброго времени суток, Инна Владимировна. Пишу с огромной просьбой о помощи в решении задачи.Очень долгое время не могу решить, надеюсь на Вашу помощь. Вот условие задачи:»Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB.Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC,CD,AD».
см:
Инна Владимировна! Спасибо за помощь!
Огромное спасибо!
Огромное спасибо!!!
помогите пожалуйста : В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так,что ВК:КМ=7:3. Найдите отношение площади треугольника АВК к площади треугольника АВС
Площадь треугольника АВМ=1/2 площади треугольника АВС.
Площадь треугольника АВК=7/10 площади треугольника АВМ = 1/2*7/10 площади треугольника АВС.
В треугольнике АВС медиана ВМ и высота ВН. Известно что АС=17 и ВС=ВМ Найдите АН.
помогите пожалуйста!!
Треугольник МВС — равнобедренный, следовательно, высота ВН является медианой. Тогда АН=3/4 АС