№ 324610
Четырёхугольник 
со сторонами 
и 
вписан в окружность. Диагонали 
и 
пересекаются в точке 
, причём 
. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение.
показать
Рассмотрим треугольники 
и 
.
Эти треугольники подобны по двум углам:
- как вертикальные,
- как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
Запишем отношения сходственных сторон:
То есть 
Введем соотвествующие обозначения и рассмотрим треугольник 
:
Треугольник вписан в окружность, поэтому радиус окружности мы можем найти по формуле:
(1)
Найдем все составляющие этой формулы:
,
По теореме косинусов из треугольника 
:
(4)
Подставим эти выражения в формулу (1):
Ответ: 
2 способ.
Мы нашли 
(4)
По теореме синусов из треугольника найдем
. Получим: 
.
.
Отсюда 
Окружность, описанная около треугольника - это та же окружность, которая описана около заданного четырехугольника. По следствию из теоремы синусов для треугольника запишем: 
, где 
- радиус, который мы ищем.
, отсюда 
Ответ:
№ 324611
На стороне 
треугольника взята точка 
так, что окружность, проходящая через точки 
, 
и , касается прямой 
. Найдите 
, если 
, 
и 
.
Решение.
показать
№ 324612
В параллелограмме проведена диагональ . Точка 
является центром окружности, вписанной в треугольник . Расстояния от точки до точки и прямых и соответственно равны 10, 8 и 6. Найдите площадь параллелограмма .
Решение.
показать
Опустим из точки перпендикуляр 
на и рассмотрим треугольники 
и 
:
По теореме Пифагора: 
Следовательно, 
по трем сторонам, отсюда 
, и 
- по теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника. Следовательно, исходный параллелограмм является прямоугольником.
Уточним чертеж и рассмотрим прямоугольный треугольник :
Опустим из точки перепендикуляр 
на :
, следовательно, четырехугольник 
- квадрат, и 
. Пусть 
как отрезки касательных, проведенных из одной точки.
Запишем теорему Пифагора для треугольника :
- как отрезки касательных, проведенных из одной точки.
Тогда 
Ответ: 672
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
со сторонами 
и 
вписан в окружность. Диагонали 
и 
пересекаются в точке 
, причём 
. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
треугольника 
взята точка 
так, что окружность, проходящая через точки 
, 
и 
. Найдите 
, если 
, 
и 
.
является центром окружности, вписанной в треугольник 
В задании 324610 опечатка. Когда вы ищите площадь треуг. АВС, она складывается из площади АВК и ВКС (а не АКС)
Большое спасибо!
Инна Владимировна, предлагаю другой способ решения задачи 324610.