В этой статье вы найдете свойства биссектрисы и медианы треугольника, которые могут быть полезны при решении задач.
Биссектрисы.
1. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.
Доказательство.
2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
Доказательство.
3. Длина биссектрисы 
вычисляется по таким формулам:
(1)
Докажем вторую формулу.
4. Пусть О-центр вписанной окружности, 
-биссектриса угла 
треугольника 
:
Тогда выполняется соотношение:
Доказательство:
Биссектрису треугольника в некоторых задачах удобно продолжить до пересечения с описанной окружностью.
Лемма о трилистнике.
Дан треугольник . Точка 
- точка пересечения биссектрисы угла 
с описанной около треугольника окружностью. Пусть 
- центр вписанной в треугольник окружности. Тогда
Доказательство.
Докажем формулу (1) из п. 3:
Доказательство:
Выразим длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника через длины сторон треугольника. Введем обозначения:
Получим систему:
Отсюда
Медианы.
1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины:
2. Пусть 
- точка внутри треугольника такая, что выполняется соотношение: 
, то 
- точка пересечения медиан треугольника .
Доказательство.
.
являются медианами.
, то получаем 
. Проведем через точку 
, то есть точка 
3. Медианы треугольника, пересекаясь, разбивают его на 6 равновеликих треугольника.
Доказательство.
Высоты.
1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке. В случае остроугольного треугольника в одной точке пересекаются сами высоты.
2. Точка пересечения высот треугольника обладает следующим свойством: сумма квадрата расстояния от вершины треугольника и квадрата противолежащей стороны одинаковая для любой вершины:
Доказательство.
(из треугольников 
(из треугольника 
(из треугольника 
.3. Если описать вокруг треугольника окружность и продлить высоты треугольника до пересечения с этой окружностью,
то для любой высоты треугольника расстояние от основания высоты до точки пересечения продолжения высоты с окружностью равно расстоянию от основания высоты до точки пересечения высот:
Или так: Точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон треугольника, лежат на описанной около треугольника окружности.
Доказательство.
:
, тогда из треугольника 
. Следовательно, из треугольника 
, и
∠
4. В треугольнике точки 
и 
- основания высот, проведенных из вершин и 
. Доказать, что треугольник 
подобен треугольнику и коэффициент подобия равен 
.
Доказательство:
Теорема Чевы
Пусть в треугольнике 
Отрезки 
пересекаются в одной точке в том и только том случае, если
(1)
Доказательство.
Из лекций Агаханова Назара Хангельдыевича и Владимира Викторовича Трушкова, КПК МФТИ.
Инна, большое спасибо за прекрасно сделанную Вашу работу! Очень полезный материал для подготовки к экзаменам!
А св-ва высоты ?
Упс! До высоты дело не дошло…
3. Медианы треугольника, пересекаясь, разбивают его на 6 равновеликих треугольника.
исправьте опечатку
Следовательно, S∆AMB1=1/3 S∆ABB1=1/6 S∆ABC
Спасибо, исправила.