1. На стороне 
остроугольного треугольника 
(
как на диаметре построена окружность, пересекающая высоту 
в точке M, 
точка пересечения высот треугольника . Найдите 
.
Решение. показать
Построим чертеж.
Опустим высоту 
на сторону 
. 
- это точка пересечения окружности со стороной ( так как угол 
- вписанный угол, опирающийся на диаметр. Он равен 
. Аналогично угол 
Рассмотрим треугольник 
. 
- это высота, проведенная к гипотенузе . По свойству прямоугольного треугольника квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Пусть 
, тогда 
(1)
Далее. Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
. 
как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, эти треугольники подобны.
Запишем отношения сходственных сторон:
Или
Отсюда 
. Учитывая равенство (1), получим
Тогда 
.
Ответ: 30.
2. Две касающиеся внешним образом в точке окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с вершиной 
. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку , пересекает стороны угла в точках 
и 
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника треугольника .
Решение показать
Построим чертеж:
Центры окружностей 
и 
лежат на биссектрисе угла . Проведем её:
Касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны между собой: 
.
Радиус, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной, следовательно четырехугольник 
- прямоугольная трапеция.
Проведем высоту 
. 
Следовательно, 
.
Далее. 
- биссектриса 
(центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрисс).
По теореме синусов
Ответ: 68,75
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
остроугольного треугольника 
(
как на диаметре построена окружность, пересекающая высоту 
в точке M, 
точка пересечения высот треугольника 
.
окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с вершиной 
. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку 
и 
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника треугольника 
В условии задачи даны радиусы окружностей 22 и 23, а в решении рассмотрены радиусы 22 и 33. Эту путаницу имело бы смысл исправить.
Далее, сама задача, конечно, решена правильно, если исходить из условия радиусов 22 и 33. Но я хотел бы представить иной способ решения данной задачи. Наверно, он немного длиннее, чем путь, предложенный у Вас. Вместе с тем, преимущество моего пути в том, что в нем не используется теорема синусов, да и вообще тригонометрические функции, а все основано только на подобии треугольников. И с точки зрения вычислений мой способ кажется мне более удобным. В нем выведена универсальная формула для искомого радиуса описанной окружности, в которую следует только подставить заданные радиусы касающихся окружностей — и каковы бы ни были их значения, вычисления получаются простыми. В то же время в представленном Вами способе решения, если радиусы будут, например, 22 и 23 (как в условии задачи), при вычислительных процедурах придется сталкиваться с достаточно неудобными конструкциями вроде квадратного корня из 44*46.
В общем, приглашаю ознакомиться с альтернативным методом решения, и если угодно, дать ему свою оценку.
Андрей, большое спасибо за красивое решение. Опечатку исправила.
Добрый день! Я просмотрела задачу1. В целом ход решения мне был понятен. Спасибо! Но вот я нашла опечатки: угол CKB (а не CKA) — вписанный угол, опирающийся на диаметр… и Рассмотрим прямоугольные треугольники CHD и ADB (а не CKB)…угол CHD равен углу ABD (а не углу KBC)
Большое спасибо, Анастасия!
Добрый вечер! Я посмотрела задачу2.мне всё было понятно! Несколько моментов наверное нужно поправить: Радиус, проведённый к точке касания перпендикулярен касательной — надо дописать й! и где тангенс альфа записаны sqrt вместо значка корень.
Спасибо, исправила)