№ 324603
Боковые стороны 
и 
трапеции 
равны соответственно 8 и 10, а основание 
равно 2. Биссектриса угла 
проходит через середину стороны . Найдите площадь трапеции.
Решение.
показать
№ 324604
В треугольнике 
биссектриса 
и медиана 
перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника .
показать
Решение.
По условию - медиана, следовательно, 
.
В треугольнике 
биссектриса перпендикулярна основанию, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, этот треугольник является равнобедренным:
.
То есть 
. Пусть длина этих отрезков равна 
.
По свойству биссектрисы 
Пусть 
, тогда 
:
Воспользуемся формулами для нахождения длины биссектрисы и медианы.
Медиана: 
Биссектриса: 
Получили систему уравнений:
Сложим уравнения, получим 
Отсюда 
Тогда 
Отсюда 
.
Ответ: 
№ 324605
На стороне остроугольного треугольника (
) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту в точке 
, 
, 
, 
— точка пересечения высот треугольника . Найдите 
.
Решение.
показать
Пусть 
. Рассмотрим прямоугольный треугольник 
(вписанный угол опирается на диаметр, следовательно, 
).
- высота. Она равна среднему пропорциональному проекций катетов на гипотенузу: 
, или
Отсюда 
(1)
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и :
Они подобны по двум углам.
Запишем отношения сходственных сторон:
Отсюда 
(из равенства (1))
Тогда 
Ответ: 6,4
№ 324606
Точки и 
лежат на стороне 
треугольника на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины 
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча , если 
.
Решение.
показать
По теореме о касательной и секущей 
, 
Рассмотрим треугольник 
:
Найдем длину стороны 
по теореме косинусов:
Отсюда 
, то есть треугольник - равнобедренный, и 
Уточним наш чертеж и рассмотрим треугольник 
:
Треугольник равнобедренный, так как 
.
Радиус 
перпендикулярен по свойству касательной, следовательно 
Пусть 
- высота и медиана треугольника .
Ответ: 8
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
и 
трапеции 
равны соответственно 8 и 10, а основание 
равно 2. Биссектриса угла 
проходит через середину стороны 
биссектриса 
и медиана 
перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника 
) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту 
, 
, 
, 
— точка пересечения высот треугольника 
.
лежат на стороне 
треугольника 
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки 
.
Формулами для медианы и биссектрисы пользоваться необязательно (их не все знают). Достаточно провести DQ- среднюю линию в ВЕС. Сразу вычисляется BQ*BQ=20, OE=1 (половине DQ) , BO=3,AO=2 и отсюда все, что нужно. О=точка пересечения медианы и биссектрисы.
Спасибо!
Инна, а по каким углам подобны треугольники BHD и ADC во варианте № 324605 ? Заранее спасибо за ответ!
Угол HBD равен углу DAC как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами. И эти треугольники прямоугольные.
Инна,а как в конце вы назодите радиус?Это формула какая то есть?
в задача 606
По следствию из теоремы синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности.