В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
Решение.
Пусть угол 
Так как точка 
- центр описанной окружности, угол 
- центральный, а угол 
- вписанный. По свойству вписанного угла 
.
- как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. (По условию точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности.):
Точка 
- центр вписанной окружности. Она лежит в точке пересечения биссектрис. Пусть 
Сумма углов треугольника 
равна 
Рассмотрим треугольник 
:
Сумма углов треугольника равна 
Получили систему:
Вычтем из второго уравнения первое и получим:
Отсюда 
Утверждение доказано.
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
Добавить комментарий