№324613
Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Решение.
показать
Треугольник 
подобен треугольнику 
по двум углам, следовательно, 
По теореме Фалеса 
Пусть 
Так как отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, 
Введем обозначения:
Выразим площадь каждого треугольника через 
.
Рассмотрим треугольник 
.
Так как 
, 
. Следовательно, 
Рассмотрим треугольник 
:
Так как 
, 
, следовательно, 
, соответственно, 
Аналогично получим, что 
и 
.
Тогда 
Отсюда 
Ответ: 
2 способ.
Рассмотрим треугольники 
и . Высоты этих треугольников равны, и 
, следовательно, 
. Пусть 
№324614
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 2.
Решение.
показать
По условию отношение диагоналей параллелограмма равно 2, 
.
Пусть 
, тогда 
. (1)
Точка 
- точка пересечения диагоналей параллелограмма. Из соображений симметрии диагонали ромба пересекаются в этой же точке. То есть отрезок 
- половина диагонали 
ромба. Вспомним, что диагонали ромба являются биссектрисами углов. Этот факт нам понадобится в дальнейшем.
Рассмотрим треугольник 
.
Так как стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма, четырехугольник 
- параллелограмм. 
; 
- биссектриса углов 
и 
.
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Так как - биссектриса треугольника , 
.
Из подобия треугольников 
и 
следует, что 
, отсюда 
. (Отрезок 
- 2 части, тогда отрезок 
- 3 части.) Тогда из соотношения (1) выразим сторону ромба:
Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:
Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны и синуса угла между сторонами, то есть
Ответ: 
№324615
Углы при одном из оснований трапеции равны 
и
, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.
Решение.
показать
Заметим, что сумма углов при основании трапеции равна 
. Потому логично достроить трапецию до прямоугольного треугольника. Учтем этот факт при построении чертежа:
Докажем, что точки 
и 
лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольники 
и 
. Они подобны по двум углам (так как 
) следовательно, их сходственные элементы пропорциональны и углы между сходственными элементами равны. Угол - общий, 
- медиана треугольника , 
- медиана треугольника , 
, следовательно, точки и лежат на одной прямой.
Рассмотрим случай, когда 
Пусть 
. Так как 
- средняя линия трапеции, которая равна полусумме оснований, 
, 
. (1)
В прямоугольном треугольнике длина медианы равна половине длины гипотенузы, поэтому из прямоугольного треугольника получим 
. Из прямоугольного треугольника : 
.
Так как 
, получим второе уравнение: 
С учетом уравнения (1) получили систему:
Отсюда 
.
Легко проверить, что в случае, когда 
, система не имеет решений.
Ответ: 1; 21.
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
и
, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.
Здравствуйте, Инна Владимировна! В задаче №324614 можете прокомментировать фразу : «Точка О — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Из соображений симметрии диагонали ромба пересекаются в этой же точке». Спасибо!
При центральной симметрии относительно точки О отрезок EF переходит в отрезок GH. (Отрезок переходит в равный и параллельный ему отрезок). То есть точка E переходит в точку H. Следовательно, EO=OG; FO=OH. То есть точка О — точка пересечения диагоналей ромба.
Добрый день, Инна Владимировна. Поясните, пожалуйста, почему в задаче 324615 не доказывается что точки S, M, N лежат на одной прямой. Мне кажется, этот факт используется в решении.
Ирина, вы правы. Добавила обоснование.
Спасибо
Доброго времени суток! Пожалуйста поясните в задаче 324615: «углы BSN=SNA». Мне кажется, имелось в виду: «углы BSN=ASN».
Спасибо, опечатка. Исправила.