В этой статье опубликованы интересные задачи,связанные с линейной функцией. Задачи взяты из лекции из лекции Агаханова Назара Хангельдыевича, КПК МФТИ.
Прежде приступать к решению задач, рекомендую повторить свойства линейной функции.
Итак.
1. Пусть 
. Существуют ли числа 
такие, что графики функций 
расположены следующим образом:
Решение:
показать
График линейной функции тем круче, чем больше ее коэффициент наклона. То есть исходя из расположения графиков, получаем, что 
(1)
Координаты точки пересечения графика функции 
с осью ординат равны 
. Поэтом для наших функций имеем:
То есть 
(2)
Очевидно, что неравенство (1) противоречит неравенству (2) и таких чисел не существует.
2. Даны две линейных функции: 
. Точка 
расположена выше прямой 
и выше прямой 
. Как точка 
может располагаться относительно прямой 
Решение.
показать
3. Доказать, что при любых значениях 
, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство:
Решение.
показать
Рассмотрим это неравенство как линейное относительно 
. Преобразуем его:
Рассмотрим линейную функцию
на промежутке (0;1)
Докажем, что 
и 
. В этом случае по свойству монотонности линейной функции для любого из промежутка (0;1) будет выполняться неравенство 
.
Так как 
, следовательно,
.
, так как
Что и требовалось доказать.
2 способ.
показать
Рассмотрим правильный треугольник, все стороны которого равны 1. Отложим на сторонах треугольника отрезки , такие, что .
Пусть 
- площадь правильного треугольника, а 
, 
, 
- площади отсеченных треугольников.
Рассмотрим соотношение:
(2)
С другой стороны,
Аналогично 
, 
Сложив эти равенства, и учитывая (2) получим неравенство
. Существуют ли числа 
такие, что графики функций 
расположены следующим образом:
. Точка 
расположена выше прямой 
и выше прямой 
. Как точка 
может располагаться относительно прямой 
, следовательно, точка 
, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство:
, 
задача 3, способ решения первый, опечатка в неравенстве (y-1)(z-1)<1, а не 0 как в тексте
Спасибо!