В этой статье вы найдете пошаговые решения прототипов задач из Задания 26 ОГЭ по математике (№ 324599 - № 324602)
No 324599
В выпуклом четырёхугольнике 
диагональ 
является биссектрисой угла 
и пересекается с диагональю 
в точке 
.
Найдите 
, если известно, что около четырёхугольника можно описать окружность, 
, 
.
Решение.
показать
Докажем, что треугольники 
и 
подобны по двум углам.
Обозначим равные углы одинаковыми буквами:
, так как - биссектриса. Следовательно, дуга 
равна дуге 
, и равны соответствующие хорды: 
.
Тогда 
как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.
Тогда треугольники и подобны по двум углам.
Запишем отношения сходственных сторон:
Отсюда 
Ответ: 7.
№ 324600
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение.
показать
№ 324601
В трапеции 
боковая сторона 
перпендикулярна основанию 
. Окружность проходит через точки 
и 
и касается прямой в точке 
. Найдите расстояние от точки до прямой 
, если 
.
Решение.
показать
[spoiler]
Пусть 
- основание перпендикуляра, опущенного из точки на 
.
Продолжим стороны трапеции до пересечения в точке 
и опустим перпендикуляр 
на основание 
:
Рассмотрим треугольники 
и 
:
Эти треугольники подобны по двум углам (
как соответственные.)
Запишем отношения сходственных сторон:
Пусть 
, тогда 
:
Теперь воспользуемся теоремой о касательной и секущей и выразим касательную 
через 
.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть:
Теперь рассмотрим треугольники 
и 
. Они подобны по двум углам (треугольники прямоугольные, и 
- общий)
Запишем отношения сходственных сторон:
Отсюда 
Ответ:
№ 324602
Биссектриса треугольника 
делит сторону на отрезки, 
и 
. Касательная к описанной окружности треугольника , проходящая через точку , пересекает прямую в точке . Найдите .
Решение.
показать
Докажем вспомогательное утверждение:
Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой:
Пусть угол межд хордой и касательной, проведенной в точке равен 
. Докажем, что 
Рассмотрим треугольник 
. 
- касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в току касания.
Тогда 
.
Следствие: острый вписанный угол, опирающийся на хорду равен :
Используем это утверждение в нашей задаче. 
Следовательно, треугольник 
подобен треугольнику 
по двум углам.
Пусть 
Запишем отношения сходственных сторон:
По свойству биссектрисы 
То есть 
По свойству касательной и секущей 
То есть 
Получили систему уравнений, из которой нам надо найти 
:
Из первого уравнения выразим 
через и подставим во второе уравнение.
Решим второе уравнение:
Раскроем скобки и умножим обе части на 16. Получим:
Первый корень не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 12.
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
диагональ 
является биссектрисой угла 
и пересекается с диагональю 
в точке 
.
, если известно, что около четырёхугольника
, 
.
боковая сторона 
перпендикулярна основанию 
. Окружность проходит через точки 
и 
и касается прямой 
. Найдите расстояние от точки 
, если 
.
треугольника 
делит сторону 
и 
. Касательная к описанной окружности треугольника 
Решение задачи 324599, предложенное Любовью Ревиной: //ege-ok.ru/wp-content/uploads/2016/01/599-e1453791372233.png
Решение задачи 602, предложенное Галиной Шереметьевой:
//ege-ok.ru/wp-content/uploads/2016/01/22-1.png
Инна, добрый день! А как насчет неоднозначности чертежа задачи 601?
Я начертила аж 4 варианта возможных событий.
Вот я начертила
почему другие не рассматриваются, особенно вариант Г), где точка Е лежит вне отрезка АВ.
Тогда, если сравнить мои варианты Б) и Г) — там расстояния точно различные до прямой СД — точка Е на одном и том же месте, а Д симметрично относительно центра, но по разные стороны от центра окружности.
Расположение центра окружности относительно прямой CD никак не влияет на решение.
а как сделать вывод об этом? Мне кажется, что расстояния на рисунке Б и Г — точно различные (ну на вид), и линии там разные, я имею ввиду построение.
В решении используется только подобие треугольников.
И теорема о касательной.
В середине решения задачи 324600 рассматриваются подобные треугольники BSC и ASD, но при написании пропорции берётся отношение высот треугольников KS/SM, а не сторон, как положено по определению подобия треугольников. Почему так можно делать?
В подобных фигурах пропорциональны все сходственные элементы: стороны, высоты, биссектрисы, радиусы вписанных и описанных окружностей..
Инна, у меня завтра ОГЭ по математике, помогите, пожалуйста )). Допустимо ли такое в написании, что в подобных фигурах пропорциональны высоты, медианы и тд. ????
В подобных фигурах пропорциональны все сходственные элементы.
Зачем такое сложное решение задачи № 324602?? Могу решить в два раза легче
Это было бы здорово!
Зачем такие грамоздкие решения задач № 324602 и № 324601?? их можно решить в 5 раз легче
Если вы пришлете свое решение, будет здорово!
Спасибо за решения задач, надеюсь завтра на огэ то же получится решить 26 номер !
Удачи тебе на экзамене!